Limiti, un aiuto perfavore
(1)
-RISULTATO: SQR(2)
Data una circonferenza gamma (scusate, nn trovo il simbolo) di raggio unitario (quindi una circonferenza goniometrica) e centro O, tracciare una semiretta s nascente da O e intersecante gamma in un punto Q. Indicato con P un generico punto di s esterno alla circonferenza gamma, tracciare da esso le due tangenti alla circonferenza: siano A e B i punti di tangenza. Indicata con x la lunghezza del segmento PQ, trovare il limite per x che tende a infinito della funzione f(x): (AQ+QB)/AB.
Ora, facendo la figura si nota chiaramente che la funzione avrà sempre lo stesso valore indipendentemente dalla lunghezza del segmento PQ. Il problema è che non ho la piu' pallida idea di come esprimere quei lati in funzione di x (e quindi del segmento PQ). Qualcuno è in grando di darmi la soluzione di questo problema? So' che è un po' lunghetto, ma vi prego, venitemi incontro
(2) Dimostrare che lim (x^2 + |x - 1| - 1) / (x - 1)
x->1
(3) Calcolare: lim (x+2)^(1/ln(x-1))
x-> +infinito
Questo deve riportare "e", quindi sicuramente richiede l'applicazione del limite notevole.
Se potete aiutarmi anche in un solo punto di qualche esercizio, ve ne sono molto grato.
Un grazie in anticipo a tutti coloro che avranno tempo e voglia di aiutarmi, Blizzard.
-RISULTATO: SQR(2)
Data una circonferenza gamma (scusate, nn trovo il simbolo) di raggio unitario (quindi una circonferenza goniometrica) e centro O, tracciare una semiretta s nascente da O e intersecante gamma in un punto Q. Indicato con P un generico punto di s esterno alla circonferenza gamma, tracciare da esso le due tangenti alla circonferenza: siano A e B i punti di tangenza. Indicata con x la lunghezza del segmento PQ, trovare il limite per x che tende a infinito della funzione f(x): (AQ+QB)/AB.
Ora, facendo la figura si nota chiaramente che la funzione avrà sempre lo stesso valore indipendentemente dalla lunghezza del segmento PQ. Il problema è che non ho la piu' pallida idea di come esprimere quei lati in funzione di x (e quindi del segmento PQ). Qualcuno è in grando di darmi la soluzione di questo problema? So' che è un po' lunghetto, ma vi prego, venitemi incontro
(2) Dimostrare che lim (x^2 + |x - 1| - 1) / (x - 1)
x->1
(3) Calcolare: lim (x+2)^(1/ln(x-1))
x-> +infinito
Questo deve riportare "e", quindi sicuramente richiede l'applicazione del limite notevole.
Se potete aiutarmi anche in un solo punto di qualche esercizio, ve ne sono molto grato.
Un grazie in anticipo a tutti coloro che avranno tempo e voglia di aiutarmi, Blizzard.
Risposte
1) Quando x tende all'inf. , vuol dire che il punto P è all'infinito e quindi PB e PA sono rette parallele ; allora la congiungente AB è un diametro( e vale 2 ) ed è perpendicolare ad OQ ( che vale 1 ) .
Inoltre considera i triangoli rettangoli : BOQ , QOA : BQ = QA= SQRT(2).
Quindi (AQ+QB)/AB = 2*SQRT(2)/2 = SQRT(2).
Camillo
Inoltre considera i triangoli rettangoli : BOQ , QOA : BQ = QA= SQRT(2).
Quindi (AQ+QB)/AB = 2*SQRT(2)/2 = SQRT(2).
Camillo
Non riesco a capire il concetto che quanto P tende all'infinito PA e PB sono parallele.
Come fanno a essere parallele due rette che hanno un punto in comune?
Come fanno a essere parallele due rette che hanno un punto in comune?
Come nn detto .. ragionandoci su ... quando P tende all'infinito l'angolo PAQ tende a 90°, quindi le due rette sono parallele. E pensare che ci ho perso un pomeriggio intero per 'sta scemenza -___- Cmq le due rette in teoria "tendono" a essere parallele o sbaglio? O ho detto una cavolata?
Sì diciamo che tendono a essere parallele, ma si incontrano in un punto P sempre più lontano, finchè diventa il punto all'inf. e quindi sono parallele.
Camillo
Camillo
2) limite per x che tende a 1 di : (x^2+|x-1|-1)/(x-1).
Cominciamo a veder il limite per x che tende a 1+( cioè arrivando a 1 da destra); in questo caso |x-1| = x-1 e quindi il limite diventa:
lim per x che tende a 1+ dix^2+x-2)/(x-1) = x+2 e quindi il limite vale : 3.
Adesso facciamo il limite per x che tende a 1- ; in questo caso
|x-1| = -(x-1) = 1-x e quindi il limite diventa :
lim per x che tende a 1- di : (x^2-x)/(x-1) = x(x-1)/(x-1) = x e quindi il limite vale : 1.
Camillo
Cominciamo a veder il limite per x che tende a 1+( cioè arrivando a 1 da destra); in questo caso |x-1| = x-1 e quindi il limite diventa:
lim per x che tende a 1+ di
x^2+x-2)/(x-1) = x+2 e quindi il limite vale : 3.Adesso facciamo il limite per x che tende a 1- ; in questo caso
|x-1| = -(x-1) = 1-x e quindi il limite diventa :
lim per x che tende a 1- di : (x^2-x)/(x-1) = x(x-1)/(x-1) = x e quindi il limite vale : 1.
Camillo
3) Questo è un po' più complesso : bisogna ricordare l'identità :
a^b = e^(b*ln a), molto utile.
Applicata nel nostro caso ( forma di indeterminazione del tipo : inf^0) si ha :
e^(ln(x+2)/ln(x-1)); il problema si sposta quindi nel calcolare illimite per x che tende a inf di :ln(x+2)/ln(x-1); quando x tende all'inf chiaramente x+2 si approssima a x e x-1 si approssima a x e quindi il tutto si approssima a : lnx/lnx che dà ovviamente : 1 ( se vuoi farlo in modo rigoroso usa la regola di DeL'Hopital) .
Il limite è quindi : e.
Camillo
a^b = e^(b*ln a), molto utile.
Applicata nel nostro caso ( forma di indeterminazione del tipo : inf^0) si ha :
e^(ln(x+2)/ln(x-1)); il problema si sposta quindi nel calcolare illimite per x che tende a inf di :ln(x+2)/ln(x-1); quando x tende all'inf chiaramente x+2 si approssima a x e x-1 si approssima a x e quindi il tutto si approssima a : lnx/lnx che dà ovviamente : 1 ( se vuoi farlo in modo rigoroso usa la regola di DeL'Hopital) .
Il limite è quindi : e.
Camillo
quote:
quando x tende all'inf chiaramente x+2 si approssima a x e x-1 si approssima a x e quindi il tutto si approssima a : lnx/lnx che dà ovviamente : 1 ( se vuoi farlo in modo rigoroso usa la regola di DeL'Hopital) .
Svolgendolo come mi hai detto sono arrivato al punto in cui ho e^ ln(x+2)/ln(x-1). Quando la x tende a infinito pero', in teoria sostituendo non riottengo la forma indeterminata infinito/infinito? Oppure ho capito male io ?
Attenzione , metto tutte le parentesi necessarie per evitare ogni equivoco :il limite da cercare è relativo all'espressione :
e^[ln(x+2)/ln(x-1)]
Esatto : ottieni una forma : e^(inf/inf) che è ancora indeterminata.
Adesso il problema si sposta nel calcolare il limite per x che tende all'inf di :
ln(x+2)/ln(x-1) , che è appunto inf/inf.
Però è più facile da gestire nel senso che :
quando x tende a +inf, allora x+2 è asintotico a x
e anche x-1 è asintotico a : x ; quindi il lite diventa :
ln x/ln x e questo vale chiaramente : 1 .
Quindi il limite cercato è : e^1 = e.
Oppure usa la regola di De L'HOPITAL per calcolare il limite:
ln(x+2)/ln(x-1) che è uguale al limite delle derivate , cioè :
1/(x+2)/1/(x-1) = (x-1)/(x+2); per calcolare questo limite raccogli sia a numeratore che a denominatore x e ottieni :
x*(1-1/x)/x*(1+2/x) = (1-1/x)/(1+2/x), facendo ora tendere x a +inf . ottieni : 1/1 = 1 .
OK ?
Camillo
e^[ln(x+2)/ln(x-1)]
Esatto : ottieni una forma : e^(inf/inf) che è ancora indeterminata.
Adesso il problema si sposta nel calcolare il limite per x che tende all'inf di :
ln(x+2)/ln(x-1) , che è appunto inf/inf.
Però è più facile da gestire nel senso che :
quando x tende a +inf, allora x+2 è asintotico a x
e anche x-1 è asintotico a : x ; quindi il lite diventa :
ln x/ln x e questo vale chiaramente : 1 .
Quindi il limite cercato è : e^1 = e.
Oppure usa la regola di De L'HOPITAL per calcolare il limite:
ln(x+2)/ln(x-1) che è uguale al limite delle derivate , cioè :
1/(x+2)/1/(x-1) = (x-1)/(x+2); per calcolare questo limite raccogli sia a numeratore che a denominatore x e ottieni :
x*(1-1/x)/x*(1+2/x) = (1-1/x)/(1+2/x), facendo ora tendere x a +inf . ottieni : 1/1 = 1 .
OK ?
Camillo
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