[ limiti ] tipologia di limiti
Salve, ho trovato problemi nel risolvere certi limiti che hanno una forma del tipo:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow,0} f(x)^{g(x)} \)
alcuni esempi sono:
1) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow,0^+} (\sin(2x))^{\tan(2x)} \)
2) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow,0} (\cos(x))^{\frac{1}{\sin(x))}} \)
Io ho provato a risolverli utilizzando il metodo: \(\displaystyle a^b = e^{b · \ln(a)} \)
Non ho però ottenuto forme più familiari su cui poter eventualmente applicare taylor.
Potreste darmi qualche suggerimento ?
Grazie
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow,0} f(x)^{g(x)} \)
alcuni esempi sono:
1) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow,0^+} (\sin(2x))^{\tan(2x)} \)
2) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow,0} (\cos(x))^{\frac{1}{\sin(x))}} \)
Io ho provato a risolverli utilizzando il metodo: \(\displaystyle a^b = e^{b · \ln(a)} \)
Non ho però ottenuto forme più familiari su cui poter eventualmente applicare taylor.
Potreste darmi qualche suggerimento ?
Grazie
Risposte
E' chiaro che devi iniziare con la formula che hai suggerito e che ti permette di ridurti allo studio del limite del prodotto $b\log a$. A quel punto è solo questione di sviluppi di Taylor. Non c'è nessuna difficoltà particolare.
Prova a postare qualche conto.
Prova a postare qualche conto.
Il mio problema è proprio al passaggio successivo.
Allora prendendo come esempio questa:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow,0^+} (\sin(2x))^{\tan(2x)} \)
dopo il primo passaggio mi trovo:
\(\displaystyle e^{\tan(2x) · log(\sin(2x)) } \)
che posso scrivere anche come:
\(\displaystyle e^{\tan(2x) · ( log(2 · \sin(x) · \cos(x)) } \)
=
\(\displaystyle e^{\tan(2x) · ( log(2· \sin(x)) +log( \cos(x)) } \)
ma a parte la tangente, i logaritmi non li so scrivere come sviluppi di taylor visto che l'unica forma che conosco è quella con: log(1+x) e quindi non so come procedere
Allora prendendo come esempio questa:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow,0^+} (\sin(2x))^{\tan(2x)} \)
dopo il primo passaggio mi trovo:
\(\displaystyle e^{\tan(2x) · log(\sin(2x)) } \)
che posso scrivere anche come:
\(\displaystyle e^{\tan(2x) · ( log(2 · \sin(x) · \cos(x)) } \)
=
\(\displaystyle e^{\tan(2x) · ( log(2· \sin(x)) +log( \cos(x)) } \)
ma a parte la tangente, i logaritmi non li so scrivere come sviluppi di taylor visto che l'unica forma che conosco è quella con: log(1+x) e quindi non so come procedere
Ok, vediamo un po'. Intanto, non ti è convenuto usare la duplicazione del seno. Quel \(2x\) è solo uno specchietto per le allodole e il piccolo cambio di variabile \(y=2x\) te lo fa sparire. Inoltre, una volta passati a forma esponenziale non occorre portarci dietro la \(e^{\cdot}\). Perciò dobbiamo analizzare
\[
\tan(y)\log(\sin y),\quad \text{per }y\to 0^+.\]
Sono d'accordo con te che non possiamo sviluppare il logaritmo, visto che il suo argomento \(\sin y\) tende a \(0\) e perciò il logaritmo tende a \(-\infty\). In questi casi abbiamo però il limite notevole
\[
\lim_{z\to 0^+} z^\alpha \log z=0,\quad \forall \alpha > 1.\]
Prova ad applicarlo.
\[
\tan(y)\log(\sin y),\quad \text{per }y\to 0^+.\]
Sono d'accordo con te che non possiamo sviluppare il logaritmo, visto che il suo argomento \(\sin y\) tende a \(0\) e perciò il logaritmo tende a \(-\infty\). In questi casi abbiamo però il limite notevole
\[
\lim_{z\to 0^+} z^\alpha \log z=0,\quad \forall \alpha > 1.\]
Prova ad applicarlo.
"dissonance":
limite notevole
\[ \lim_{z\to 0^+} z^\alpha \log z=0,\quad \forall \alpha > 1. \]
Dopo un po' di tentativi sono giunta alla soluzione corretta ma solo se il limite notevole è:
\[ \lim_{z\to 0^+} z^\alpha \log z=0,\quad \forall \alpha > 0. \] che ho trovato sul libro di analisi del proffessor Giuseppe Buttazzo.
Tanto che ci sono chiedo conferma anche a te
Si si certo, una svista mia.
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