Limiti per $f$ definiti solo in un intorno destro di $x_0$

[squonk1]

Mi ci sono arrovellato un poco, ma fatico a trovare una risposta, così chiedo a voi.
Supponiamo di avere una funzione e di voler calcolare il limite in un estremo del suo dominio. Tanto per intenderci:
$lim_(x->0) (log(x))$

La questione che mi sono posto è sull'esistenza o meno di questo limite. Mi chiedo cioè se non esista solo il limite:
$lim_(x->0^+) (log(x))$

Essendo la funzione logaritmo definita solo a destra dello zero, intuitivamente mi fa pensare che il primo limite (chiamiamolo "generale") non esista perché non mi posso avvicinare a zero da sinistra.
Questo sarebbe confermato anche da alcuni libri di testo che ho consultato (nonchè da alcuni CAS che ho utilizzato per risolvere il limite).

La questione del perché però il limite "generale" non esista non è così chiara.
Infatti guardando con attenzione la definizione di limite, quando si considera gli $x$ appartenenti ad un intorno di $x_0$ (ad eccezione del punto $x_0$ stesso) per calcolare $|f(x)-l|<\epsilon$ (o se vogliamo rimanere in tema con l'esempio $f(x)<-M$ con $M$ positivo) $x$ deve necessariamente appartenere al dominio della funzione, quindi apparentemente il limite "generale" dovrebbe esistere perché tutti i valori di $x$ nell'intorno completo di $0$ che appartengono al dominio soddisfano alla condizione.

Dov'è quindi il problema?

Grazie mille!

[@melia]

Il problema sta nel fatto che, poiché $x$ deve appartenere al dominio della funzione, non è possibile individuare un intorno completo del punto in questione, ma solo un suo intorno destro

[squonk1]

"@melia":Il problema sta nel fatto che, poiché $x$ deve appartenere al dominio della funzione, non è possibile individuare un intorno completo del punto in questione, ma solo un suo intorno destro

Questo vuol dire che la definizione di limite è soddisfatta solo se tutti gli elementi dell'intorno completo di $x_0$ (eccettuato al più $x_0$ stesso) appartengono al dominio...
In alcuni libri di testo questa cosa non è affatto riportata in questi termini.
Prendo ad esempio quella presente nel testo Fraschini, Grazzi "Matematica per i licei scientifici" Ed. Atlas

La funzione $f(x)$ per $x->0x_0$ ha per limite $l$ se, per ogni numero $\epsilon>0$, esiste un numero $\delta$, dipendente da $\epsilon$, tal che, per ogni $x$ che dista da $x_0$ per meno di $\delta$, cioè per ogni $x in D$ che soddisfa la relazione $|x-x_0|<\delta$, escluso al più $x_0$, si ha che $|f(x)-l|<\epsilon$

Questa definizione lascia diversi dubbi sulla questione che ho posto...

[@melia]

Devo correggermi, non è vero che $x_0$ deve appartenere al dominio della funzione, ma deve essere di accumulazione per il dominio.

[squonk1]

"@melia":Devo correggermi, non è vero che $x_0$ deve appartenere al dominio della funzione, ma deve essere di accumulazione per il dominio.

Sì ma lo $0$ dell'esempio è comunque di accumulazione per il dominio (anche se a sinistra non compare nessun elemento del dominio stesso). Non credo che questo serva per fare luce sulla questione...

Comunque grazie per le risposte.

[G.D.5]

Il limite di una funzione reale di variabile reale in un punto di accumulazione $x_{0}$ per il suo dominio $D$ esiste se e solo se esistono uguali i limiti dalla destra e dalla sinistra in $x_{0}$.