Limiti notevoli

[lepre561]

$lim_(xto0)(sin^2(2x))/x^2$

Applicando la formula di duplicazione

$(4sin^2xcos^2x)/(x^2)$

adesso mi chiedo che limite notevole è possibile applicare a questo punto?

[Sascia63]

Il limite notevole da applicare in questo caso è $ lim_(f(x)to0)(sin(f(x)))/f(x)=1 $
Manipoliamo un po' il tuo limite $ lim_(xto0)(sin^2(2x))/x^2 = lim_(xto0)((sin(2x))/x)^2 $
Adesso moltiplico per $2$ sia denominatore che numeratore in modo da avere la stessa funzione $f(x)=2x$ e verifico che tendi a zero per $x rarr 0$ (in questo caso è palese).

$ lim_(xto0)((sin(2x))/x2/2)^2 = lim_(xto0)((sin(2x))/(2x)*2)^2 $
Sapendo che $lim_(xto0)((sin(2x))/(2x))=1$
Allora $lim_(xto0)((sin(2x))/(2x)*2)^2 =2^2=4$

[Zero87]

Voglio solo fare un appunto, ma non negativo, anche perché l'ottima soluzione di @Sascia63 è impeccabile ed elegante.
L'appunto che faccio è generale ed è quanto dicevo quando facevo ripetizioni, ovvero che la matematica "non prende in giro" e che qualsiasi percorso si sceglie, se i passaggi sono corretti, anche il risultato è lo stesso.

Per esempio, @lepre561 è arrivato qui

"lepre561":$ (4sin^2xcos^2x)/(x^2) $

da cui
$lim_(x->0) \frac{4sin^2(x)cos^2(x)}{x^2}=lim_(x->0) 4cos^2(x)\frac{sin^2(x)}{x^2} = 4\cdot 1 \cdot 1=4$

Ciao e buona serata a tutti.