Limiti noiosi

raffaele19651
Mi sono imbattuto in due limiti noiosi che credo debbano essere risolti con la stessa tecnica per eliminate l'inderteminazione ma non riesco ad impostarli correttamente e a trovare il modo per uscirne fuori.

Spero possiate aiutarmi.

$lim_(x->infty)(cos(1/sqrt(x))^x$

$lim_(x->infty)(x+3^x)^(1/x)$

Non posso usare nessun tipo di teorema perchè siamo all'inizio e la prof vuole che riusciamo a risolvere solo utilizzando tecniche algebriche e i pochi limiti notevoli noti.

Grazie

Raffaele.

Risposte
Shocker1
Ciao :)

Per il primo: $t = 1/sqrt(x) => cos(t) = sqrt(1 - sin^2(t)) = (1 - sin^2(t))^(1/2)$
Per il secondo: prova raccogliere e portare fuori $3^x$


Ciao :)

raffaele19651
Grazie.
Penso di avere capito... provo a risolvere...

Raffaele

Shocker1
Posta i calcoli ;)

raffaele19651
Ciao. Rettifico... non riesco a impostare i calcoli.

Il primo limite deve restituire $e^-1/2$, il secondo $3$.

Purtroppo sono all'inizio e non ho ancora il guizzo matematico sui limiti...

Raffaele

raffaele19651
Scusate ho sbagliato a scrivere la risposta; il primo limite deve dare $e^(-1/2)$...

Raffaele

Shocker1
Allora proviamo a risolvere il primo limite ;)


Sia $t = 1/sqrt(x)$, $cos(1/sqrt(x)) = cos(t) = (1 - sin^2(t))^(1/2)$

quindi: $lim_{x->+oo} cos(1/sqrt(x))^x = lim_{t->0} cos(t)^(1/t^2) = lim_{t->0} (1 - sin^2(t))^(1/(2t^2))$

Ora... questo limite è simile al limite notevole di $e$ no? $lim_{x->x_0} ( 1 + \alpha f(x))^(1/f(x)) = e^\alpha$ dove $f(x) ->0$ per $x -> x_0$ con $x_o in R uu {+oo, -oo}$ e compagnia. Però non è della stessa forma, perché nella base abbiamo $f(t) = sin^2(t)$, nell'esponente invece $g(t) = t^2$, per trasformarlo nella forma voluta dobbiamo moltiplicare e dividere, nell'esponente, per $sin^2(t)$:

$lim_{t->0} (1 - sin^2(t))^(1/2t^2) = lim_{t->0} (1 - sin^2(t))^(1/sin^2(t) * sin^2(t)/t^2 * 1/2) = lim_{t->0} (((1 - sin^2(t))^(1/sin^2(t)))^( sin^2(t)/t^2))^( 1/2) $

Ricordo che $lim_{t->0} sin^\alpha(t)/t^\alpha = 1$
e che $lim_{t->0} (1 - sin^2(t))^(1/sin^2(t)) = e^-1$

dunque:
$lim_{t->0} (((1 - sin^2(t))^(1/sin^2(t)))^( sin^2(t)/t^2))^( 1/2) = ((e^(-1))^(1))^(1/2) = e^(-1/2)$

Capito?

francicko
$lim(cos (1/(sqrt (x))))^x$ $=lim(sqrt (1-sin^2 (1/(sqrt (x)))))^x$ $=lim (sqrt (1-1/x))^x=$ $lim (1-1/(2x))^x=$ $lim((1-1/(2x))^(2x))^(1/2)=$ $(1/e)^(1/2)=1/(sqrt (e)) $

donald_zeka
$lim_(x->+oo) (cos(1/sqrt(x)))^x=lim_(t->0) cos(t)^(1/t^2)=lim_(t->0) (cos(t)-1+1)^(1/t^2)=lim_(t->0) (1+t^2(cos(t)-1)/t^2)^(1/t^2)=lim_(t->0)(1-t^2/2)^(1/t^2)=e^(-1/2)$

Shocker1
"Vulplasir":
$lim_(x->+oo) (cos(1/sqrt(x)))^x=lim_(t->0) cos(t)^(1/t^2)=lim_(t->0) (cos(t)-1+1)^(1/t^2)=lim_(t->0) (1+t^2(cos(t)-1)/t^2)^(1/t^2)=lim_(t->0)(1-t^2/2)^(1/t^2)=e^(-1/2)$

I miei complimenti :wink: :D
@francicko: idem :)

raffaele19651
Oh mamma quante tecniche... fantastico... davvero affascinante l'Analisi Matematica.

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