Limiti - forme indeterminate
ciao a tutti 
chi mi aiuta a calcolare i limiti di queste funzioni?
\( \lim_{x\rightarrow \infty } (1-2x^3+5x^2) \)
\( \lim_{x\rightarrow 0} (2x^2-3x)/x^2 \)
\( \lim_{x\rightarrow \infty } (3x^2-5x+1)/(x-4) \)
\( \lim_{x\rightarrow 0} 3x/(5x^2-5x) \)
grazie
chi mi aiuta a calcolare i limiti di queste funzioni?
\( \lim_{x\rightarrow \infty } (1-2x^3+5x^2) \)
\( \lim_{x\rightarrow 0} (2x^2-3x)/x^2 \)
\( \lim_{x\rightarrow \infty } (3x^2-5x+1)/(x-4) \)
\( \lim_{x\rightarrow 0} 3x/(5x^2-5x) \)
grazie
Risposte
"engy":
ciao a tutti
chi mi aiuta a calcolare i limiti di queste funzioni?
Tutti!
Anche se dovresti mostrare qualche tuo tentativo o per lo meno qualche idea su come procedere in modo da chiarirti eventuali dubbi.
Comunque posso iniziare consigliandoti di raccogliere la potenza massima della $x$ al numeratore e nell'eventuale denominatore in ognuno dei tre esercizi per vedere se ti viene in mente qualcosa.
Ciao @Zero87
allora (correggimi se sbaglio) la prima dovrebbe venire infinito.. (si deve svolgere ulteriormente?); la seconda dovrebbe venire una forma indeterminata, ovvero 0 su 0...e qui io normalmente (avendo un polinomio in cui la x compare al secondo e al primo grado e c'è il termine noto) io trovo un numero la cui somma sia b (coefficiente della x di primo grado) e il cui prodotto sia c (termine noto), ma in questo caso non so come fare!
la terza dovrebbe venire infinito su infinito (quindi un'altra forma indeterminata) e qui normalmente raccolgo a fattor comune quando la x di grado massimo è uguale (al numeratore e al denominatore), qui però della del numeratore è maggiore rispetto al numeratore, e io ho una regola che dice che in questo caso è sempre infinito...quindi la devo lasciare così (che risulta uguale a infinito)?
l'ultima...viene di nuovo 0 su 0, ma ho la stessa difficoltà riscontrata nella seconda e quindi mi sono bloccata
allora (correggimi se sbaglio) la prima dovrebbe venire infinito.. (si deve svolgere ulteriormente?); la seconda dovrebbe venire una forma indeterminata, ovvero 0 su 0...e qui io normalmente (avendo un polinomio in cui la x compare al secondo e al primo grado e c'è il termine noto) io trovo un numero la cui somma sia b (coefficiente della x di primo grado) e il cui prodotto sia c (termine noto), ma in questo caso non so come fare!
la terza dovrebbe venire infinito su infinito (quindi un'altra forma indeterminata) e qui normalmente raccolgo a fattor comune quando la x di grado massimo è uguale (al numeratore e al denominatore), qui però della del numeratore è maggiore rispetto al numeratore, e io ho una regola che dice che in questo caso è sempre infinito...quindi la devo lasciare così (che risulta uguale a infinito)?
l'ultima...viene di nuovo 0 su 0, ma ho la stessa difficoltà riscontrata nella seconda e quindi mi sono bloccata
"engy":
Ciao @Zero87
allora (correggimi se sbaglio) la prima dovrebbe venire infinito.. (si deve svolgere ulteriormente?)
Ciao engy.
Sì, la prima viene infinito (ti domandi perché non ti dico nulla sulle altre, aspetta un pochino
), immagino che il ragionamento che hai fatto sia del tipo che "siccome il termine di grado maggiore della $x$ tende a $\infty$ allora il tutto tende a infinito".Dimmi se sbaglio o se hai fatto un ragionamento differente (non so a che punto stai con i limiti, quindi devo "indagare", no?)
in realtà non ho fatto alcun ragionamento, ho solo applicato una formula
e coi limiti sto proprio alle basi..
e coi limiti sto proprio alle basi..
"engy":
in realtà non ho fatto alcun ragionamento, ho solo applicato una formula
e coi limiti sto proprio alle basi..
Ho fatto bene a considerare solo il primo, perché il mio ragionamento era "non proprio" alla base del limite.
Comunque, ora, escludendo che tu abbia applicato la definizione di limite (ma correggimi se sbaglio), che formula/ragionamento hai applicato di bello?
[Sorry, ma come puoi vedere dal nick, sono un pizzico in là con gli anni rispetto alle superiori, quindi magari momentaneamente mi sfugge qualcosa!
]
formula: numeratore ha grado maggiore rispetto al denominatore, è sempre infinito; invece quando il numeratore ha grado minore rispetto al denominatore, è sempre 0...in questo caso ho applicato la prima parte della formula (numeratore ha grado maggiore rispetto al denominatore)
"engy":
formula: numeratore ha grado maggiore rispetto al denominatore, è sempre infinito; invece quando il numeratore ha grado minore rispetto al denominatore, è sempre 0...in questo caso ho applicato la prima parte della formula (numeratore ha grado maggiore rispetto al denominatore)
Ah, capito, è la teoria di quello che avevo spiegato io a parole nel secondo post (lo scoprirai tra qualche lezione): quindi ignora tutto quello che ho detto fino ad ora.
Comunque a questo punto la tua formula giustifica il primo e il terzo limite senza problemi: per la quarta puoi raccogliere una $x$ al denominatore (e semplificarla con il numeratore (*)), mentre per la seconda c'è qualche problema se per ora hai solo questa regola a disposizione.
_______
(*) Una delle prime cose che si dicono del limite, a parte la tua regola, era quella che comunque si potevano semplificare eventuali quantità al numeratore con quelle al denominatore.
La spiegazione basilare di questo fatto non mi viene in mente, ma quella più tecnica, però, sta nel fatto che la $x$ tende alla quantità limite ma è comunque differente da essa.
diciamo che ho capito qualcosina.. quindi, ricapitolando, il primo limite è uguale a infinito, il terzo viene anch'esso infinito mentre per il quarto raccolgo a fattor comune al denominatore...
"engy":
per il quarto raccolgo a fattor comune al denominatore...
Sì, ma l'hai vista a lezione quella cosa che ho scritto tra asterisco nel post precedente? Cioè il fatto che puoi raccogliere qualcosa all'interno del limite anche se quel qualcosa è coinvolto nel limite stesso?
EDIT.
Tornando al secondo, non so se già hai visto che il limite di una somma è la somma del limite (ci sarebbe da specificare, ma qui va bene così)...
In quel caso, puoi pensare al fatto che
$\frac{2x^2-3x}{x^2}= \frac{2x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}=...$...
Ovviamente tutto questo discorso c'è da farlo nel limite.
ehm no..infatti ho raccolto a fattor comune, ma non ho continuato perché non so come fare
Tutte queste sono ancora un po' complicate per me...devo approfondire, ma il concetto l'ho capito
Ti ringrazio
Ti ringrazio
Mi spiace che stiamo qui da un'ora, però ho dovuto vedere cosa sapessi dei limiti per darti qualche idea: non mi sembrava il caso cavarmela con un suggerimento generico che poi si sarebbe rivelato inutile (come quello che ho scritto all'inizio!).
Per la seconda vedi quello che ho detto nel post precedente (che ho editato).
Comunque dici di aver raccolto al fattor comune nella quarta, puoi semplificarlo e ottieni una scrittura molto simile al terzo limite (conta che semplificando al numeratore la $x$ va via il che vuol dire - in termini tecnici - che avresti $x^0$ quindi vale la regola che mi hai ricordato prima).
Per la seconda vedi quello che ho detto nel post precedente (che ho editato).
Comunque dici di aver raccolto al fattor comune nella quarta, puoi semplificarlo e ottieni una scrittura molto simile al terzo limite (conta che semplificando al numeratore la $x$ va via il che vuol dire - in termini tecnici - che avresti $x^0$ quindi vale la regola che mi hai ricordato prima).
"engy":
Tutte queste sono ancora un po' complicate per me...devo approfondire, ma il concetto l'ho capito
Ti ringrazio
Beh, sono felice per questo
e mi auguro che sia così.(Non sono proprio un campione nelle spiegazioni...!)
'notte
Oppure
$lim_(x->0)(2x^2-3x)/x^2=lim_(x->0)(x(2x-3))/x^2=lim_(x->0)(2x-3)/x=...$
Regole, valide quando la funzione è razionale fratta (o anche intera):
- se $x$ tende ad infinito, raccogli a numeratore e denominatore la $x$ alla massima potenza e semplificala il più possibile;
- se $x$ tende a $c$ finito, l'unica forma indeterminata possibile è $0/0$: scomponi in fattori la frazione (un buon aiuto è ricordare che, per la regola di Ruffini, un divisore è $x-c$) e semplificala.
In questo esercizio, $x$ tendeva a finito ed è solo per caso che la scomposizione in fattori è stato il raccogliere $x$, ma come vedi non l'ho fatto alla massima potenza. Confronta col seguente:
$lim_(x->oo)(2x^2-3x)/x^2=lim_(x->oo)(x^2(2-3/x))/x^2=lim_(x->oo)(2-3/x)=...$
$lim_(x->0)(2x^2-3x)/x^2=lim_(x->0)(x(2x-3))/x^2=lim_(x->0)(2x-3)/x=...$
Regole, valide quando la funzione è razionale fratta (o anche intera):
- se $x$ tende ad infinito, raccogli a numeratore e denominatore la $x$ alla massima potenza e semplificala il più possibile;
- se $x$ tende a $c$ finito, l'unica forma indeterminata possibile è $0/0$: scomponi in fattori la frazione (un buon aiuto è ricordare che, per la regola di Ruffini, un divisore è $x-c$) e semplificala.
In questo esercizio, $x$ tendeva a finito ed è solo per caso che la scomposizione in fattori è stato il raccogliere $x$, ma come vedi non l'ho fatto alla massima potenza. Confronta col seguente:
$lim_(x->oo)(2x^2-3x)/x^2=lim_(x->oo)(x^2(2-3/x))/x^2=lim_(x->oo)(2-3/x)=...$
"giammaria":
Oppure
$lim_(x->0)(2x^2-3x)/x^2=lim_(x->0)(x(2x-3))/x^2=lim_(x->0)(2x-3)/x=...$
Regole:
- se $x$ tende ad infinito, raccogli a numeratore e denominatore la $x$ alla massima potenza e semplificala il più possibile;
- se $x$ tende a finito, scomponi in fattori la frazione e semplificala.
Lo pensavo anche io giammaria, però è stata una questione piuttosto complicata poiché mi sembra di aver capito che non l'aveva ancora fatta... Però se ha chiarito il dubbio - e se non mi hai detto nulla, quindi non ho detto cavolate
- meglio così! 
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