Limiti e funzioni inverse

[Andg94]

Salve a tutti!
Volevo chiedervi se qualcuno è in grado di aiutarmi con un dubbio che mi attanaglia riguardo i limiti... Nel caso mi trovi a dover verificare mediante definizione \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(z)= l \) e nel codominio della funzione inversa di f(x) (che dovrei utilizzare per "isolarmi" e determinare i valori di x e verificare quindi il limite stesso) il valore \(\displaystyle x_0 \) è assente, che dovrei fare? Un esempio terra terra per farvi capire meglio (date la mia probabile poca chiarezza nello spiegarmi) è verificare: \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} sin(\frac {\pi}{1+x})= 0 \). In questo caso mediante definizione e l'utilizzo dell'arcsin si riesce a verificare solamente che il limite è valido per \(\displaystyle x \rightarrow \infty \) (dato infatti che il codominio dell'arcsin è limitato da \(\displaystyle - \pi /2 \) a \(\displaystyle \pi /2 \) e non comprende il valore Pi che sarebbe invece dato da x=0). Con una semplice sostituzione ci si rende conto che il realtà il limite è esatto, cosa che altrimenti non traspare. Come posso evitare di trovarmi in una situazione simile in questa ed altre funzioni il cui codominio della funzione inversa è magari limitato e non include il valore a cui tende l'x?

[@melia]

Usando la funzione inversa devi scrivere un intervallo che comprenda l'argomento del seno. In pratica per invertire la funzione seno su tutto $RR$ dovresti prendere tutte le inverse
$2k pi - arcsin epsilon $(2k+1) pi - arcsin epsilon
Nel caso specifico hai un arco del secondo/terzo quadrante, riferito al primo giro, quindi

$- epsilon< sin(pi/(1+x))

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[Andg94]

Grazie (: Comunque avrei una breve domanda a proposito... Quindi questo genere di "problema" si presenta solo nel caso in cui abbiano funzioni periodiche come nel caso delle trigonometriche (e dove sarebbe quindi sufficiente aggiungere alla funzione inversa il periodo) o anche in altre?

[@melia]

Ogni volta che per trovare l'inversa devi restringere il dominio (valori assoluti, potenze pari, ...) ma di solito in questi casi ti gestisci meglio perché le conosci di più.
Ad esempio: $4-epsilon

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[Andg94]

Perfetto...grazie mille, gemtilissima