Limiti e derivata
Purtroppo sono un po' nei casini con i limiti e le derivate...
Ve ne propongo alcuni, mi potreste dire se sono giusti?
Non ricopio tutti i passaggi perché altrimenti diventa infinito..
1) $lim (sqrt(cos x)-1-x^2)/(sin x)^2 = -1/2$
Il limite è per x che tende a zero
2) $lim x(e^(2/x^3)-1-ln(1-3/x)) = -3$
Il limite è per x che tende a più infinito
3) $lim (e^x+x)^(1/x) = 1$
Il limite èeper x che tende a + infinito
Solo che dovrebbe venire $e$... Non capisco...
Vi chiedo anche dei consigli su come affrontare e risolvere correttamente un limite. Io applico, quando si può, De L'Hopital, ma in alcune circostanze le cose si complicano anziché facilitarsi... L'esame ce l'ho il 14 Gennaio, spero di riuscire a prendere una certa manualità entro quella data!!
In ultimo mi son bloccato su questa derivata:
$f(x) = (x^4-5x^2+4)/(sqrt(x^2-1))$
A me viene qualcosa come
$((4x^3 - 10x)(sqrt(x^2-1)-x(x^4-5x^2+4))/((x^2-1)(sqrt(x^2-1)))$
Solo che poi dovresti studiare il segno di questa derivata prima... Posto che sia giusto il risultato, come faccio??
Vi ringrazio e buone feste a tutti!
Ve ne propongo alcuni, mi potreste dire se sono giusti?
Non ricopio tutti i passaggi perché altrimenti diventa infinito..
1) $lim (sqrt(cos x)-1-x^2)/(sin x)^2 = -1/2$
Il limite è per x che tende a zero
2) $lim x(e^(2/x^3)-1-ln(1-3/x)) = -3$
Il limite è per x che tende a più infinito
3) $lim (e^x+x)^(1/x) = 1$
Il limite èeper x che tende a + infinito
Solo che dovrebbe venire $e$... Non capisco...
Vi chiedo anche dei consigli su come affrontare e risolvere correttamente un limite. Io applico, quando si può, De L'Hopital, ma in alcune circostanze le cose si complicano anziché facilitarsi... L'esame ce l'ho il 14 Gennaio, spero di riuscire a prendere una certa manualità entro quella data!!
In ultimo mi son bloccato su questa derivata:
$f(x) = (x^4-5x^2+4)/(sqrt(x^2-1))$
A me viene qualcosa come
$((4x^3 - 10x)(sqrt(x^2-1)-x(x^4-5x^2+4))/((x^2-1)(sqrt(x^2-1)))$
Solo che poi dovresti studiare il segno di questa derivata prima... Posto che sia giusto il risultato, come faccio??
Vi ringrazio e buone feste a tutti!
Risposte
"Ruci":
1) $lim (sqrt(cos x)-1-x^2)/(sin x)^2 = -1/2$
Il limite è per x che tende a zero
Il risultato è errato.
Prova a calcolare lo sviluppo di Taylor di [tex]\sqrt{\cos(x)}[/tex]:
[tex]\sqrt{\cos(x)} = 1 - \dfrac{1}{4}\,x^2 + ...[/tex]
e guarda cosa viene.
Grazie per la risposta franced, ma nel corso di analisi che ho seguito io non lo abbiamo fatto Taylor (faccio Chimica, per questo non siamo entrati così nel dettaglio)!
In realtà basta sapere che
[tex]\sqrt{1 + h} = 1 + \dfrac{h}{2} + ...[/tex]
[tex]\sqrt{1 + h} = 1 + \dfrac{h}{2} + ...[/tex]
"Ruci":
Grazie per la risposta franced, ma nel corso di analisi che ho seguito io non lo abbiamo fatto Taylor
io avrei risolto così (anche se, in effetti, la prima idea era Taylor)
$lim_(x->0)(sqrt(cosx)-1)/(sin^2x)-x^2/(sin^2x)$
$lim_(x->0)-(1-sqrt(cosx))/(1-cos^2x)-x^2/(sin^2x)$
$lim_(x->0)-(1-sqrt(cosx))/((1-sqrt(cosx))(1+sqrt(cosx))(1+cosx))-x^2/(sin^2x)$
$lim_(x->0)-1/((1+sqrt(cosx))(1+cosx))-x^2/(sin^2x)$
$lim_(x->0)-1/((1+1)(1+1))-lim_(x->0)x^2/(sin^2x)$
$=-1/4-1=-5/4$
adesso mi preparo per il panetùn, ciao
Vi propongo altri limiti (con i miei passaggi). Mi potreste dire dove sbaglio?
$lim_(x->0)(x*sin x + 3x^2)/((e^x(1-cos x))$ = $lim_(x->0) x/(1-cos x)*sinx/e^x+(3x^2)/((e^x(1-cos x))$
Il primo limite è un limite notevole e vale zero, il secondo limite invece vale 0 (sin x tende a 0, mentre $e^x$ tende a 1) e il terzo limite è nella forma indeterminata $0/0$ che risolvo con de l'Hopital
$0*0 + lim_(x->0) (6x)/((e^x(1-cos x)+e^x(sin x))$ = $lim_(x->0) 6/((e^x(1-cos x)+e^x(sin x)+e^x(sinx)+e^x(cosx))$ = $6$
L'altro limite è:
$lim_(x->-infty)(e^x-sin(1/x))/(ln(1+1/x)$
Moltiplico sia sopra che sotto per $1/x$
$lim_(x->-infty) (1/x)/(ln(1+1/x)) * (- sin (1/x)/(1/x))+ e^x/(ln(1+1/x))$
Il primo termine è un limite notevole e vale 1, il secondo è un altro limite notevole e vale -1, il terzo è nella forma indeterminata $(0/0)$
Moltiplico sia sopra che sotto per 1/x e ottengo
$-1 + lim_(x->-infty) (1/x)/(ln(1+1/x)) *e^x/(1/x)$ = 0
Il primo è di nuovo un limite notevole che vale 1, mentre il secondo lo risolvo con De L'Hopital e vale zero. Quindi l'intero limite vale zero.
Il terzo e ultimo limite è:
$lim_(x->0) (x^3-sin(3x^2))/(x(e^x-1))$ = $lim_(x->0) (x^3)/(x(e^x-1)) - sin (3x^2)/(x) * 1/(e^x-1)$
Moltiplico e divido per 3x vicino al seno e spezzo il limite e ottengo:
$lim_(x->0) (x^3)/(x(e^x-1)) - lim_(x->0) sin (3x^2)/(3x^2) * lim_(x->0) (3x)/(e^x-1)$
Quindi applico De L'Hopital sul primo e sul terzo limite, mentre il secondo è un limite notevole e vale 1 (col segno -1)
Saltando i passaggi di derivazione (il terzo limite tende a 3)arrivo alla fine con
$lim_(x->0) 6/(e^x+e^x+e^x+x*e^x) - 3 = -1$
Vi ringrazio molto se avete voglia di correggermi questi esercizi... Io ce la metto tutta, ma credo che gli sforzi non siano sufficienti!
$lim_(x->0)(x*sin x + 3x^2)/((e^x(1-cos x))$ = $lim_(x->0) x/(1-cos x)*sinx/e^x+(3x^2)/((e^x(1-cos x))$
Il primo limite è un limite notevole e vale zero, il secondo limite invece vale 0 (sin x tende a 0, mentre $e^x$ tende a 1) e il terzo limite è nella forma indeterminata $0/0$ che risolvo con de l'Hopital
$0*0 + lim_(x->0) (6x)/((e^x(1-cos x)+e^x(sin x))$ = $lim_(x->0) 6/((e^x(1-cos x)+e^x(sin x)+e^x(sinx)+e^x(cosx))$ = $6$
L'altro limite è:
$lim_(x->-infty)(e^x-sin(1/x))/(ln(1+1/x)$
Moltiplico sia sopra che sotto per $1/x$
$lim_(x->-infty) (1/x)/(ln(1+1/x)) * (- sin (1/x)/(1/x))+ e^x/(ln(1+1/x))$
Il primo termine è un limite notevole e vale 1, il secondo è un altro limite notevole e vale -1, il terzo è nella forma indeterminata $(0/0)$
Moltiplico sia sopra che sotto per 1/x e ottengo
$-1 + lim_(x->-infty) (1/x)/(ln(1+1/x)) *e^x/(1/x)$ = 0
Il primo è di nuovo un limite notevole che vale 1, mentre il secondo lo risolvo con De L'Hopital e vale zero. Quindi l'intero limite vale zero.
Il terzo e ultimo limite è:
$lim_(x->0) (x^3-sin(3x^2))/(x(e^x-1))$ = $lim_(x->0) (x^3)/(x(e^x-1)) - sin (3x^2)/(x) * 1/(e^x-1)$
Moltiplico e divido per 3x vicino al seno e spezzo il limite e ottengo:
$lim_(x->0) (x^3)/(x(e^x-1)) - lim_(x->0) sin (3x^2)/(3x^2) * lim_(x->0) (3x)/(e^x-1)$
Quindi applico De L'Hopital sul primo e sul terzo limite, mentre il secondo è un limite notevole e vale 1 (col segno -1)
Saltando i passaggi di derivazione (il terzo limite tende a 3)arrivo alla fine con
$lim_(x->0) 6/(e^x+e^x+e^x+x*e^x) - 3 = -1$
Vi ringrazio molto se avete voglia di correggermi questi esercizi... Io ce la metto tutta, ma credo che gli sforzi non siano sufficienti!
"Ruci":
Vi propongo altri limiti (con i miei passaggi). Mi potreste dire dove sbaglio?
$lim_(x->0)(x*sin x + 3x^2)/((e^x(1-cos x))$ = $lim_(x->0) x/(1-cos x)*sinx/e^x+(3x^2)/((e^x(1-cos x))$
Il primo limite è un limite notevole e vale zero ...(
Il primo fattore NON è un limite notevole e NON vale 0, il limite notevole è $lim_(x->0) x^2/(1-cos x)=2$, mentre $lim_(x->0) x/(1-cos x)=oo$, anche se gli altri calcoli sono corretti l'esercizio cambia completamente. Lo risolverei così (non è l'unica strada):
$lim_(x->0)(x*sin x + 3x^2)/(e^x(1-cos x)) =$ raccolgo $x^2$ sia dal numeratore che dal denominatore
$=lim_(x->0)(x^2*((sin x)/x + 3))/(x^2*(e^x(1-cos x)/x^2)$ semplifico $x^2$ e risolvo $lim_(x->0)(sin x)/x =1$ (è un limite notevole), $lim_(x->0)(1-cos x)/x^2=1/2$ (è un limite notevole), $lim_(x->0)e^x=1$ non è indeterminato, sostituendo
$lim_(x->0) ((sin x)/x + 3)/(e^x(1-cos x)/x^2) = (1+3)/(1*1/2)=4*2=8$
"@melia":
[quote="Ruci"]Vi propongo altri limiti (con i miei passaggi). Mi potreste dire dove sbaglio?
$lim_(x->0)(x*sin x + 3x^2)/((e^x(1-cos x))$ = $lim_(x->0) x/(1-cos x)*sinx/e^x+(3x^2)/((e^x(1-cos x))$
Il primo limite è un limite notevole e vale zero ...(
Il primo fattore NON è un limite notevole e NON vale 0, il limite notevole è $lim_(x->0) x^2/(1-cos x)=2$, mentre $lim_(x->0) x/(1-cos x)=oo$, anche se gli altri calcoli sono corretti l'esercizio cambia completamente. Lo risolverei così (non è l'unica strada):
$lim_(x->0)(x*sin x + 3x^2)/(e^x(1-cos x)) =$ raccolgo $x^2$ sia dal numeratore che dal denominatore
$=lim_(x->0)(x^2*((sin x)/x + 3))/(x^2*(e^x(1-cos x)/x^2)$ semplifico $x^2$ e risolvo $lim_(x->0)(sin x)/x =1$ (è un limite notevole), $lim_(x->0)(1-cos x)/x^2=1/2$ (è un limite notevole), $lim_(x->0)e^x=1$ non è indeterminato, sostituendo
$lim_(x->0) ((sin x)/x + 3)/(e^x(1-cos x)/x^2) = (1+3)/(1*1/2)=4*2=8$[/quote]
In molte scuole anche $lim_( x -> 0 ) ( 1 - cos(x) )/x = 0$ viene "assunto" come limite notevole.
L'utente però non si è accorto che mentre $lim_( x -> 0 ) ( 1 - cos(x) )/x = 0$, $lim_( x -> 0 ) x/( 1 - cos(x) ) = lim_( x -> 0 ) 1/(( 1 - cos(x) )/x) = oo$.
"Seneca":
In molte scuole anche $lim_( x -> 0 ) ( 1 - cos(x) )/x = 0$ viene "assunto" come limite notevole.
D'accordo, ma non certo come è stato usato da Ruci
Grazie mille intanto per le risposte di entrambi!
Sono io che sono un tonno: ho confuso il limite "non" notevole dell'esercizio con quello notevole che ha detto Seneca! Grazie per avermi chiarito questo aspetto, meglio fare errori stupidi adesso che all'esame!
Sono io che sono un tonno: ho confuso il limite "non" notevole dell'esercizio con quello notevole che ha detto Seneca! Grazie per avermi chiarito questo aspetto, meglio fare errori stupidi adesso che all'esame!
Ciao
In effetti il limite per x che tende ad infinito di e elevato ad x più x, elevato ad 1/x, fa "e".
Basta ragionare in questo modo:
quando x tende ad infinito il termine x stesso è trascurabile ripsetto ad e elevato ad x. Di conseguenza il limite diventa:
limite per x che va ad infinito di e elevato ad x a sua volta elevato ad 1/x.
Ma e elevato ad x e successivamente elevato ad 1/x fa proprio e stesso.
Ciao spero di esserti stato d'aiuto!
In effetti il limite per x che tende ad infinito di e elevato ad x più x, elevato ad 1/x, fa "e".
Basta ragionare in questo modo:
quando x tende ad infinito il termine x stesso è trascurabile ripsetto ad e elevato ad x. Di conseguenza il limite diventa:
limite per x che va ad infinito di e elevato ad x a sua volta elevato ad 1/x.
Ma e elevato ad x e successivamente elevato ad 1/x fa proprio e stesso.
Ciao spero di esserti stato d'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo