Limiti di successioni (Help!)

[Ste.M]

Avrei bisogno di una mano (anche di due) per capire come calcolare i limiti di successioni

[math]y_n[/math]

, in generale. Nei limiti di successioni,

[math]n \rightarrow \infty[/math]

. Posso avere quattro tipi di forme indeterminate:

-->

[math]\frac{\infty}{\infty}[/math]

-->

[math]\frac{0}{0}[/math]

-->

[math]0 \cdot \infty[/math]

-->

[math]\infty - \infty[/math]

La successione, in generale, dovrebbe avere questa forma:

[math]y_n = \frac{k_0 + k_1n + k_2n^2 + k_pn^p}{h_0 + h_1n + h_2n^2 + h_dn^d}[/math]

Per risolvere le forme indeterminate, raccolgo il termine

[math]n[/math]

di grado maggiore sia a numeratore che a denominatore...

Quindi ho tre casi:

1) Se

[math]p < d[/math]

, la successione tenderà a

[math]0[/math]

2) Se

[math]p = d[/math]

, la successione tenderà a

[math]\frac{k_p}{h_d}[/math]

3) Se

[math]p > d[/math]

, la successione tenderà a

[math]\pm \infty[/math]

Se quello che ho scritto precedentemente è corretto e vale per ogni limite di successione, come posso calcolare il seguente limite?

A)

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n + 3^n} \right )[/math]

B)

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right )[/math]

Per il limite (A), io ho tentato di scomporre il numeratore così:

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac{2^n \cdot 2+3^n \cdot 3}{2^n + 3^n} \right )[/math]

Thanks!

Aggiunto 3 ore 11 minuti più tardi:

Grazie per l'aiuto! Dopo aver posto la domanda sul sito, ho fatto qualche tentativo per risolvere il limite A. Ho raccolto

[math]3^n[/math]

al denominatore e

[math]3^{n+1}[/math]

al numeratore, proprio come hai fatto tu. Successivamente ho raccolto

[math](\frac{2}{3})^n[/math]

al denominatore e

[math](\frac{2}{3})^{n+1}[/math]

al numeratore. Così mi è venuto:

-> Raccogliendo

[math]3^n[/math]

e

[math]3^{n+1}[/math]

[math]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3(\frac{2}{3})^{n+1} + 3}{(\frac{2}{3})^n + 1}[/math]

-> Raccogliendo

[math](\frac{2}{3})^n[/math]

e

[math](\frac{2}{3})^{n+1}[/math]

[math]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(\frac{2}{3})^{n+1} (3+ \frac{3}{(\frac{2}{3})^{n+1}})}
{(\frac{2}{3})^n ( 1+ \frac{3}{(\frac{2}{3})^n})} = 2[/math]

Può esser corretto?

Comunque, in linea generale, per risolvere i limiti devo utilizzare trucchetti, come quello per il limite B oppure esiste un metodo uguale per tutti? Grazie ancora!

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Ah, ecco cosa non ricordavo...

[math]\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{2}{3})^n = 0[/math]

Grazie mille! Adesso tutto torna!

[enrico___1]

[math]
\lim_{n\to \infty} \(\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}\)\;=\; \lim_{n\to\infty }\frac{3^{n+1}}{3^n}\cdot \frac{\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}+1}{\frac{2^n}{3^n}+1}\;=\;\lim_{n\to\infty}3\cdot 1\;=\;3
[/math]

[math]
\lim_{n\to\infty}\(\sqrt{n+1}- \sqrt{n} \)\;=\;\lim_{n\to\infty}\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\;=\; \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\;=\;0
[/math]

Aggiunto 20 minuti più tardi:

Senza moltiplicare subito per 3 ottieni:

[math]
\lim_{n\to\infty}3\cdot\frac{2}{3}\cdot \frac{1+(\frac{3}{2})^{n+1}}{1+(\frac{3}{2})^n}
[/math]

Ricorda che

[math]\lim_{n\to\infty}(\frac{2}{3})^n\;=\;0[/math]

mentre

[math]\lim_{n\to\infty}(\frac{3}{2})^n\;=\;\infty[/math]