Limiti di successioni - concetti basilari...
Salve a tutti. sono un ragazzo di quinti liceo scientifico a cui servirebbe qualche dritta sui limiti.
Non ho mai avuto problemi con la matematica ma da quando siamo passati all'analisi le cose si sono un pò complicate...
siamo parecchio indietro col programma e abbiamo iniziato da poco i limiti, per ora siamo ancora a concetti molto semplici ma presto passeremo a cose più complesse e quindi gradirei mettere un pò d'ordine tra le mie idee...
allora veniamo al sodo... se mi trovo dinanzi ad una semplice successione numerica del tipo:
$(2n)/(n-1)$
e mi si dice di verificare se è vero che il suo limite (al tendere di n a più infinito) è 1
$\lim_{n \to \infty}_((2n)/(n-1))=1$
esattamente cosa dovrei fare?
non ho ancora ben chiaro il concetto ma ho provato a mettere tutto in disequazione ponendo il valore assoluto della successione meno il limite il tutto minore di epsilon.
dal risultato mi viene fuori n compreso in un intervallo...
la disequazione era impostata così:
$|(2n)/(n-1)-1|
non capisco cosa c'entri con il limite, ho le idee parecchio confuse...
qualcuno potrebbe spiegarmi molto semplicemente e chiaramente come funziona?
grazie mille.
Non ho mai avuto problemi con la matematica ma da quando siamo passati all'analisi le cose si sono un pò complicate...
siamo parecchio indietro col programma e abbiamo iniziato da poco i limiti, per ora siamo ancora a concetti molto semplici ma presto passeremo a cose più complesse e quindi gradirei mettere un pò d'ordine tra le mie idee...
allora veniamo al sodo... se mi trovo dinanzi ad una semplice successione numerica del tipo:
$(2n)/(n-1)$
e mi si dice di verificare se è vero che il suo limite (al tendere di n a più infinito) è 1
$\lim_{n \to \infty}_((2n)/(n-1))=1$
esattamente cosa dovrei fare?
non ho ancora ben chiaro il concetto ma ho provato a mettere tutto in disequazione ponendo il valore assoluto della successione meno il limite il tutto minore di epsilon.
dal risultato mi viene fuori n compreso in un intervallo...
la disequazione era impostata così:
$|(2n)/(n-1)-1|
non capisco cosa c'entri con il limite, ho le idee parecchio confuse...
qualcuno potrebbe spiegarmi molto semplicemente e chiaramente come funziona?
grazie mille.
Risposte
ah dimenticavo di dire che il limite della successione non era 1. Difatti si doveva dimostrare se era vero o no.
In questo caso, se non mi sbaglio, ti basta calcolare semplicemente il limite, come se fosse proprio un esercizio sul limite:
$lim_(n->oo) ( 2n / (n - 1) ) = lim_(n->oo) ( 2n / n ) = 2 $
La formula che tu hai scritto sotto è da ricondurre alla teoria dei limiti: essa dimostra che il punto 1 è un punto di accumulazione , quindi limite, dell'insieme formato da tutti gli elementi della successione.
Tu con quest'ultima formula vai a vedere se ci sono infiniti elementi nell'intorno destro di 1, verificando così se è proprio il limite della successione oppure no.
Spero che il concetto di intorno e di punto di accumulazione suonino familiari; in ogni caso, se hai bisogno, chiedi pure spiegazioni.
P.s.: l'avatar c'entra qualcosa con i tool ?
$lim_(n->oo) ( 2n / (n - 1) ) = lim_(n->oo) ( 2n / n ) = 2 $
La formula che tu hai scritto sotto è da ricondurre alla teoria dei limiti: essa dimostra che il punto 1 è un punto di accumulazione , quindi limite, dell'insieme formato da tutti gli elementi della successione.
Tu con quest'ultima formula vai a vedere se ci sono infiniti elementi nell'intorno destro di 1, verificando così se è proprio il limite della successione oppure no.
Spero che il concetto di intorno e di punto di accumulazione suonino familiari; in ogni caso, se hai bisogno, chiedi pure spiegazioni.
P.s.: l'avatar c'entra qualcosa con i tool ?
"Auron":
In questo caso, se non mi sbaglio, ti basta calcolare semplicemente il limite, come se fosse proprio un esercizio sul limite:
$lim_(n->oo) ( 2n / (n - 1) ) = lim_(n->oo) ( 2n / n ) = 2 $
La formula che tu hai scritto sotto è da ricondurre alla teoria dei limiti: essa dimostra che il punto 1 è un punto di accumulazione , quindi limite, dell'insieme formato da tutti gli elementi della successione.
Tu con quest'ultima formula vai a vedere se ci sono infiniti elementi nell'intorno destro di 1, verificando così se è proprio il limite della successione oppure no.
Spero che il concetto di intorno e di punto di accumulazione suonino familiari; in ogni caso, se hai bisogno, chiedi pure spiegazioni.
P.s.: l'avatar c'entra qualcosa con i tool ?
innanzitutto grazie per la risposta ma il problema è che non so appunto come svolgere un esercizio su sul limite, in pratica non so che fare con la formula che mi hai scritto... che operazioni devo fare?
sul concetto di intorno e punto di accumulazione non è che abbia tanta chiarezza... ti spiego, la prof non ha ancora spiegato nulla di analisi perchè ha dovuto riprendere tutta la trigonometria e i concetti basi delle funzioni e delle successioni quindi io ho pensato di iniziare a fare qualcosa da solo (non aver fatto i limiti a a gennaio è tragico se si pensa che fra cinque mesi dovrò sostenere lo scritto di matematica...). Il libro che ho è buono (è lineamente di analisi e calcolo combinatorio di dodero e manfredi, il più usato nei licei...) però capirai che studiare concetti parecchio astratti come questi non è semplice...
se puoi darmi qualche spiegazione molto chiara te sarei grato.
PS: si è una gif sui TOOL... il terzo occhio che si apre nella mente umana... le solite cose di maynard keenan... XD
Allora, partiamo con ordine.
Premetto che qui comunque non era necessario risolvere il limite, bastava verificare che 1 non fosse il valore del limite appunto.
Partiamo dall'inizio:
- Intorno:Un intorno di un punto x è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto x. Più specificamente è un intervallo aperto* il cui centro** è questo punto x.
Scrivendolo con formula:
$I_(c) = (x-c, x+c)$
dove $c$ è un valore arbitario che noi possiamo dare.
*Un intervallo aperto significa un insieme di numeri compresi tra due estremi, i quali non sono compresi nell'insieme.
Ad esempio:
$(0;50)$ significa che questo insieme è formato da tutti i numeri compresi da 0 a 50, con 50 escluso.
** Il centro di tale intervallo si trova facendo:
$ ( estremo 1 + estremo 2) / 2 $: nel nostro esempio è 25.
Allora, posto questo sei a posto : il punto di accumulazione non è fondamentale in questo esercizio, ciò che è fondamentale qui è la Definizione di limite per $x->oo$, con il limite che assume un valore reale.
Se prenderai un qualsiasi libro di matematica, ci sarà scritta una formula del genere:
" Dato il limite:
$lim_(x->oo) f(x)=c $
Dove c è il numero finito risultato del limite, si avrà che per ogni numero $\epsilon >0$ scelto a piacere esiste un numero $n$ grande quanto basta tale che:
1 - $|x| > N $ ( questo significa che la x tende a infinito , non c'è nulla da scrivere su questa condizione )
2 - $|f(x) - c | < $ $\epsilon$ ( e questa è una condizione che è data a priori, te la devi studiare a memoria ) $
Quando tu risolvi la disequazione 2, devi trovarti un risultato in cui la x è maggiore ( o minore ) di una certa quantità dipendente da $\epsilon$.
Premetto che qui comunque non era necessario risolvere il limite, bastava verificare che 1 non fosse il valore del limite appunto.
Partiamo dall'inizio:
- Intorno:Un intorno di un punto x è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto x. Più specificamente è un intervallo aperto* il cui centro** è questo punto x.
Scrivendolo con formula:
$I_(c) = (x-c, x+c)$
dove $c$ è un valore arbitario che noi possiamo dare.
*Un intervallo aperto significa un insieme di numeri compresi tra due estremi, i quali non sono compresi nell'insieme.
Ad esempio:
$(0;50)$ significa che questo insieme è formato da tutti i numeri compresi da 0 a 50, con 50 escluso.
** Il centro di tale intervallo si trova facendo:
$ ( estremo 1 + estremo 2) / 2 $: nel nostro esempio è 25.
Allora, posto questo sei a posto : il punto di accumulazione non è fondamentale in questo esercizio, ciò che è fondamentale qui è la Definizione di limite per $x->oo$, con il limite che assume un valore reale.
Se prenderai un qualsiasi libro di matematica, ci sarà scritta una formula del genere:
" Dato il limite:
$lim_(x->oo) f(x)=c $
Dove c è il numero finito risultato del limite, si avrà che per ogni numero $\epsilon >0$ scelto a piacere esiste un numero $n$ grande quanto basta tale che:
1 - $|x| > N $ ( questo significa che la x tende a infinito , non c'è nulla da scrivere su questa condizione )
2 - $|f(x) - c | < $ $\epsilon$ ( e questa è una condizione che è data a priori, te la devi studiare a memoria ) $
Quando tu risolvi la disequazione 2, devi trovarti un risultato in cui la x è maggiore ( o minore ) di una certa quantità dipendente da $\epsilon$.
"Auron":
Allora, partiamo con ordine.
Premetto che qui comunque non era necessario risolvere il limite, bastava verificare che 1 non fosse il valore del limite appunto.
Partiamo dall'inizio:
- Intorno:Un intorno di un punto x è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto x. Più specificamente è un intervallo aperto* il cui centro** è questo punto x.
Scrivendolo con formula:
$I_(c) = (x-c, x+c)$
dove $c$ è un valore arbitario che noi possiamo dare.
*Un intervallo aperto significa un insieme di numeri compresi tra due estremi, i quali non sono compresi nell'insieme.
Ad esempio:
$(0;50)$ significa che questo insieme è formato da tutti i numeri compresi da 0 a 50, con 50 escluso.
** Il centro di tale intervallo si trova facendo:
$ ( estremo 1 + estremo 2) / 2 $: nel nostro esempio è 25.
Allora, posto questo sei a posto : il punto di accumulazione non è fondamentale in questo esercizio, ciò che è fondamentale qui è la Definizione di limite per $x->oo$, con il limite che assume un valore reale.
Se prenderai un qualsiasi libro di matematica, ci sarà scritta una formula del genere:
" Dato il limite:
$lim_(x->oo) f(x)=c $
Dove c è il numero finito risultato del limite, si avrà che per ogni numero $\epsilon >0$ scelto a piacere esiste un numero $n$ grande quanto basta tale che:
1 - $|x| > N $ ( questo significa che la x tende a infinito , non c'è nulla da scrivere su questa condizione )
2 - $|f(x) - c | < epsilon$ ( e questa è una condizione che è data a priori, te la devi studiare a memoria )
Quando tu risolvi la disequazione 2, devi trovarti un risultato in cui la x è maggiore ( o minore ) di una certa quantità dipendente da $epsilon$.
Grazie mille, adesso è tutto chiaro.
Un'ultima cosa, riguardo al limite dell'esercizio che stavo facendo perchè mi viene detto non è 1? potresti risolverlo per farmi capire meglio come funziona il meccanismo di risoluzione? grazie ancora per l'aiuto datomi finora.
Allora, ecco qua la risoluzione con il limite uguale a 1, che è sbagliato.
Si parte da qui:
$|(2n)/(n-1) -1 | < \epsilon$
Io ora ti scrivo tutti i passaggi in successione, se hai dei problemi chiedimi:
$|(2n-n+1)/(n-1) | < \epsilon$
$|(n+1)/(n-1) | < \epsilon$
$-\epsilon< (n+1)/(n-1) < \epsilon$
$-\epsilon< 1 + 2/(n-1) < \epsilon$
$-\epsilon -1 < 2/(n-1) < \epsilon -1$
$(2)/(-\epsilon-1)> n -1 > (2)/(\epsilon-1)$
$(2)/(-\epsilon-1) +1 > n > (2)/(\epsilon-1) +1$
$(2)/(\epsilon-1) +1 < n < (2)/(-\epsilon-1) +1$
I calcoli sono questi, ma ora mi esce una domanda spontanea: la successione ti fa considerare solo i valori naturali di n giusto ?
Si parte da qui:
$|(2n)/(n-1) -1 | < \epsilon$
Io ora ti scrivo tutti i passaggi in successione, se hai dei problemi chiedimi:
$|(2n-n+1)/(n-1) | < \epsilon$
$|(n+1)/(n-1) | < \epsilon$
$-\epsilon< (n+1)/(n-1) < \epsilon$
$-\epsilon< 1 + 2/(n-1) < \epsilon$
$-\epsilon -1 < 2/(n-1) < \epsilon -1$
$(2)/(-\epsilon-1)> n -1 > (2)/(\epsilon-1)$
$(2)/(-\epsilon-1) +1 > n > (2)/(\epsilon-1) +1$
$(2)/(\epsilon-1) +1 < n < (2)/(-\epsilon-1) +1$
I calcoli sono questi, ma ora mi esce una domanda spontanea: la successione ti fa considerare solo i valori naturali di n giusto ?
si, la successione si riferisce solo ai valori naturali di n.
A quel risultato ci ero arrivato anche solo che giunto all'intervalo di valori dell'ultimo passaggio non riesco a capire perchè bisogna considerare il valore 1 del limite non esatto.
cioè come si dimostra?
adesso guardandolo ho pensato che forse 1 non va bene perchè l'intervallo va da un valore maggiore di 1 (ovvero $2/(epsilon-1)+1$) ad un altro punto sempre maggiore (che è $2/(-epsilon-1)$. però credevo che il risultato della disequazione si riferisse all'intorno...
A quel risultato ci ero arrivato anche solo che giunto all'intervalo di valori dell'ultimo passaggio non riesco a capire perchè bisogna considerare il valore 1 del limite non esatto.
cioè come si dimostra?
adesso guardandolo ho pensato che forse 1 non va bene perchè l'intervallo va da un valore maggiore di 1 (ovvero $2/(epsilon-1)+1$) ad un altro punto sempre maggiore (che è $2/(-epsilon-1)$. però credevo che il risultato della disequazione si riferisse all'intorno...
Allora se osservi il risultato dell'esercizio vedrai subito che ciò che è scritto contrasta con l'enunciato del problema.
Infatti $\epsilon$ qua assume risultati piccoli a piacere, rendendo quindi in sostanza l'intervallo in cui è compreso il nostro numero $n $ del tipo:
$ -1,.... < n < -0.9....... $
Ciò non è possibile perchè si considerano solo i numeri naturali.
Apro una parentesi inoltre per aggiungere che avendo semplicemente numeri naturali positivi era possibile considerare l'esercizio solo la parte in cui il numero deve essere $<\epsilon$ , poichè maggiore di $-\epsilon$ lo è sempre per l'enunciato.
In parole povere, potevi togliere il valore assoluto come se niente fosse.
Infatti $\epsilon$ qua assume risultati piccoli a piacere, rendendo quindi in sostanza l'intervallo in cui è compreso il nostro numero $n $ del tipo:
$ -1,.... < n < -0.9....... $
Ciò non è possibile perchè si considerano solo i numeri naturali.
Apro una parentesi inoltre per aggiungere che avendo semplicemente numeri naturali positivi era possibile considerare l'esercizio solo la parte in cui il numero deve essere $<\epsilon$ , poichè maggiore di $-\epsilon$ lo è sempre per l'enunciato.
In parole povere, potevi togliere il valore assoluto come se niente fosse.
Ah si, capito tutto! adesso mi torna il fatto che nella definizione di limite di successioni si tiene conte del numero n di indice epsilon a partire dal quale ha senso il limite senza considerare l'intervallo come invece si fa nei limiti delle funzioni.
va bene, ti ringrazio moltissimo per i consigli, mi sono stati davvero di grande aiuto.
va bene, ti ringrazio moltissimo per i consigli, mi sono stati davvero di grande aiuto.
Prego, figurati !
Alla prossima !!
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