Limiti con Taylor

[SaturnV]

Ciao a tutti, leggendo alcuni posts mi sorge spontanea una domanda.
A scuola ho fatto la teoria dei limiti e le serie di Taylor.
Ma come si fa a risolvere un limite con le approssimazioni di Taylor?
Non l'ho capito.

Ciao ciao!

Fabio

[CiUkInO1]

Beh scusa la scomposizione con taylor ti fa approssimare una funzione in un serie di potenza.
Ed in alcuni casi è piu facile fare il limite con la funzione scomposta.
Tutto li

[SaturnV]

Ma con Taylor si fa sempre un'approssimazione, con la precisione voluta! Come si fa a calcolare un limite su una approssimazione di una funzione?

Fabio

[Camillo]

Le formule di Taylor e di Maclaurin ( quando $x_0 = 0 )$ con il resto di Peano esprimono una funzione come una somma di un polinomio di grado n con un termine , il resto, che può considerarsi trascurabile nel senso che l'errore introdotto non considerandolo, è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $(x-x_0)^n $ ,oppure $ x^n$ e quindi tende a 0 più rapidamente di $ ( x-x_0)^n $ , oppure di $ x^n$ .
Le formule sopra indicate sono utili nel calcolo dei limiti , nei casi di forme di indecisione , perchè le funzioni coinvolte vengono sostituite da polinomi , purchè l'errore introdotto sia un infinitesimo .
Esempio : si voglia calcolare $lim_(x rarr 0 ) (e^(x^2)-1-x^2+5x^4)/(sin2x^4+x^5) $.
Ricordando che :
$e^x = 1+x+x^2/(2!)+o(x^2)$
$sinx = x+o(x^2) $
e applicando queste formule al caso nostro otteniamo :
$e^(x^2) = 1+x^2+x^4/(2!) +o(x^4) $
$ sin 2x^4 = 2x^4 +o(x^4) $.
Inserendo queste formule nel limite iniziale otteniamo :

$lim_(x rarr 0 )(1+x^2+x^4/2+o(x^4)-1-x^2+5x^4)/(2x^4+o(x^4)+x^5)$

ricordando che gli infinitesimi di ordine superiore possono esere trascurati in quanto vanno a 0 più rapidamente [$o(x^5)$ va a 0 più rapidamente di $x^4 $] , il limite diventa :
$ lim_(x rarr 0 ) (11x^4/2)/(2x^4) $ = $ 11/4 $.

[SaturnV]

Grazie Camillo!!!
"Ottimissima" spiegazione!!!

Fabio