Limiti con il teorema del confronto
Salve a tutti,
Mi trovo a dover svolgere degli esercizi sui limiti col teorema del confronto o dei carabinieri
Vorrei capire come si procede perchè nonostante abbia capito il senso del teorema non riesco proprio a svolgere gli esercizi.
Ad esempio ho :
$lim_{x \to \-infty} (3^|x|+cos^2(x))$
oppure
$\lim_{x \to \+infty} $ $sin(x)/(1+e^x)$
Grazie a chi mi darà una mano
Mi trovo a dover svolgere degli esercizi sui limiti col teorema del confronto o dei carabinieri
Vorrei capire come si procede perchè nonostante abbia capito il senso del teorema non riesco proprio a svolgere gli esercizi.
Ad esempio ho :
$lim_{x \to \-infty} (3^|x|+cos^2(x))$
oppure
$\lim_{x \to \+infty} $ $sin(x)/(1+e^x)$
Grazie a chi mi darà una mano
Risposte
Per favore puoi controllare se il testo del secondo limite $\lim_{x \to \+infty} $ $sin(x)/1+e^x$ è corretto?
Corretto 
$3^x+cos^2(x)>=3^x$
Poiché il limite di $x$ che tende a più infinito di $3^x$ è +infinito, allora lo è anche il limite di $3^x+cos^2(x)$
$-1<=sin(x)<=1$
Dunque
$(-1)/(1+e^x)<=sin(x)/(1+e^x)<=1/(1+e^x)$
Ma il limite per $x$ che tende a + infinito di $(-1)/(1+e^x)$ è $(-1)/(+∞)=0$ e il limite di $1/(1+e^x)$ è $1/∞=0$ e dunque per il teorema del confronto...
Poiché il limite di $x$ che tende a più infinito di $3^x$ è +infinito, allora lo è anche il limite di $3^x+cos^2(x)$
$-1<=sin(x)<=1$
Dunque
$(-1)/(1+e^x)<=sin(x)/(1+e^x)<=1/(1+e^x)$
Ma il limite per $x$ che tende a + infinito di $(-1)/(1+e^x)$ è $(-1)/(+∞)=0$ e il limite di $1/(1+e^x)$ è $1/∞=0$ e dunque per il teorema del confronto...
Ho capito tutto ma di solito in questo tipo di esercizi non so come fare il primo passaggio , adesso che ho visto ho capito questo , ma in generale come si procede?
In generale si cercano 2 funzioni, una maggiorante e una minorante, che abbiano lo stesso limite.
Ad esempio il massimo valore di $cos^2 x$ è $1$ e il minimo è $0$, allora $3^x + 0 <= 3^x + cos^2 x <= 3^x +1$.
Di solito il teorema funziona bene con le funzioni goniometriche delle quali è facile trovare il massimo e il minimo e, di conseguenza, costruire funzioni maggioranti e minoranti che abbiano lo stesso limite.
Ad esempio il massimo valore di $cos^2 x$ è $1$ e il minimo è $0$, allora $3^x + 0 <= 3^x + cos^2 x <= 3^x +1$.
Di solito il teorema funziona bene con le funzioni goniometriche delle quali è facile trovare il massimo e il minimo e, di conseguenza, costruire funzioni maggioranti e minoranti che abbiano lo stesso limite.
Ok ne ho svolto uno io posto il ragionamento così mi dite cortesemente se ho fatto bene :
$lim_{x \to \+0}$$1+1/x$
trovo due funziona una minorante e l'altra maggiorante della funzione del limite, e se le due tendono allo stesso limite anche quella data lo farà.
funzione minorante : $1/x$
funzione maggiorante $2+1/x$
E' giusto?
Grazie
$lim_{x \to \+0}$$1+1/x$
trovo due funziona una minorante e l'altra maggiorante della funzione del limite, e se le due tendono allo stesso limite anche quella data lo farà.
funzione minorante : $1/x$
funzione maggiorante $2+1/x$
E' giusto?
Grazie
Il teorema del confronto tramite minoranti e maggioranti è efficace solo quando il limite è finito, perde di utilità quando invece il limite è infinito, infatti in $1+1/x$ a te interessa sapere dove va a finire $1+1/x$ sapendo dove va a finire $1/x$ , sapendo inoltre che $1/x<1+1/x$ e sapendo che il limite cercato di $1/x$ è +infinito allora lo è anche quello di $1+1/x$...non ha senso trovare un maggiorante di $1+1/x$ perchè non ha senso scrivere $+oo
Quindi quello che devi fare è scrivere:
$1/x<1+1/x$
$limx->0+ (1/x)=+oo$ allora $lim x->0+ (1+1/x)=+oo$
Per migliori informazioni http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_confronto
Quindi quello che devi fare è scrivere:
$1/x<1+1/x$
$limx->0+ (1/x)=+oo$ allora $lim x->0+ (1+1/x)=+oo$
Per migliori informazioni http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_confronto
Ok capito ,
Ora ho
$lim_{x \to \+0} sin(x)cos(x)$ deve uscire 0
al più le due funzioni possono darmi 1.
funzione minorante potrebbe essere : $sin(x)$ ?
e la funzione maggiorante potrebbe essere $1-cos(x)$ ?
Quindi potrei scrivere che : $ sin(x) <= sin(x)cos(x) <= 1-cos(x) $ ?
Grazie per l'aiuto
Ora ho
$lim_{x \to \+0} sin(x)cos(x)$ deve uscire 0
al più le due funzioni possono darmi 1.
funzione minorante potrebbe essere : $sin(x)$ ?
e la funzione maggiorante potrebbe essere $1-cos(x)$ ?
Quindi potrei scrivere che : $ sin(x) <= sin(x)cos(x) <= 1-cos(x) $ ?
Grazie per l'aiuto
Ciao,
in generale è falso dire che $sin x <= sin x cos x$ dato che comunque $cos x <= 1$.
in generale è falso dire che $sin x <= sin x cos x$ dato che comunque $cos x <= 1$.
E come potrei risolvere l'esercizio?
Ammetto di non essere mai stato un maestro del teorema del confronto... Però forse si può fare così: consideriamo che \[\left|\cos x\right| \le 1\] Allora \[\left|\sin x\cos x\right| \le \left|\sin x\right|\] e hai risolto.
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