Limiti

[marcus1121]

$lim_(n -> +oo)1/sqrt(n)=0$
Ho provato a trovare il valore di $n$ e mi viene $n>1/(e) ^2$

In questo

$lim_(n -> +oo)(3n-1)/(2n)=3/2$ il volore di $n$ mi risulta $n> -1/(2e)$

grazie per la collaborazione

[giammaria2]

La lettera $e$ ha tutt'altro significato; a te interessa $epsilon$ e lo ottieni scrivendo epsilon.
La prima va benissimo: se $epsilon$ è molto piccolo il suo quadrato lo è ancora di più e 1:(numero piccolo)=(numero grande), cioè proprio un intorno do $+oo$.
Per il secondo ricorda che deve essere $-epsilon<(3n-1)/(2n)-3/2

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[marcus1121]

Per fissare meglio le idee...intendevi questo:

Per il secondo ricorda che deve essere $-epsilon<(3n-1)/(2n)-3/2 la prima disequazione di cui ho riportato $n> -1/(2epsilon)$ è sempre verificata, per cui dovevo riportare solo il valore
$n>1/2epsilon$

Infatti: $n>0=>|(3n-1)/(2n)-3/2|=1/(2n)$

Spero di aver capito

[retrocomputer]

"marcus112":
Infatti: $n>0=>|(3n-1)/(2n)-3/2|=1/(2n)$

Spero di aver capito

Esatto, era sbagliato il segno.

[marcus1121]

Sto risolvendi dei limiti...per cui di volta in volta li propongo alla vostra attenzione:

$lim_(n -> +oo)(2n)/(n-1)=1$ Non metto lo svolgimento...
In questo caso deve essere $(n+1)/(n-1)< epsilon$ da cui $epsilon >1$
Ricordo che in questo caso $n>1$

Quindi 1 non è il limite della nostra successione.

Se però risolvo la disequazione $(2n)/(n-1)-1(epsilon+1)/(epsilon-1) $essendo per l'appunto
$n>1 ^^epsilon>1$

[Gi81]

Attento! Non è vero che \( \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{2n}{n-1} = 1\).

[marcus1121]

Mi sembra di aver scritto che 1 non è il limite della nostra successione...intendendo quello che hai scritto tu...
comunque va bene il ragionamento fatto?

Chiedo un vostro parere. Grazie per la collaborazione

[Gi81]

Scusa, non avevo letto con attenzione tutto il messaggio.
Il fatto che a te venga la condizione $epsilon >1$ conferma che $1$ non può essere il limite della successione.
Scegliendo $0
E nella definizione di limite c'è "$AA epsilon >0$...".

[marcus1121]

Tutto chiaro ma ho qualche dubbio...

Per $n>1 ^^epsilon>1$ risolvendo la disequazione $(2n)/(n-1)-1(epsilon+1)/(epsilon-1)$

Il valore di $n$ verifica la successione solo se $epsilon>1$ e questo dimostra che il suo limite non è 1.

Spero di essere stato chiaro

[giammaria2]

Avevi già dimostrato in precedenza che il tuo limite era falso e l'esercizio finiva lì. Volendo (e mi pare che tu lo voglia) potevi ampliarlo con la domanda "C'è qualche numero che, messo al posto di $+oo$, lo rende vero?". Per rispondere però non potevi più usare il fatto che il denominatore è positivo (il numero in questione potrebbe anche essere minore di 1) e quindi dovevi risolvere le due disequazioni considerando anche il segno del denominatore.

La $(n+1)/(n-1)> -epsilon$ ha come soluzione $n<(-1+epsilon)/(1+epsilon) vv n>1$;

mentre la $(n+1)/(n-1) Intersecando le due soluzioni ottieni

$(-1-epsilon)/(1-epsilon) che è un intorno di $-1$, quindi la risposta alla domanda è: "Il limite sarebbe giusto se ci fosse $n-> -1$"

[marcus1121]

Intanto grazie..ho appena iniziato a studirli, per cui sono ancora crudo

Dato il limite
$lim_(n ->+oo )(2n^2)/(n^2+1) =2$

ho provato a calcolare il valore di $n$ e mi viene $n>sqrt((2-t)/t)$

cosa ne pensate

[Gi81]

Senza i passaggi non è chiaro al 100%...
Cosa sarebbe $t$?

PS: Nota comunque che $|2(n^2)/(n^2+1) -2|= |2(n^2+1-1)/(n^2+1) -2| = |2*1 -(2)/(n^2+1)-2|= |(-2)/(n^2+1) |= 2/(n^2+1)$

[marcus1121]

scusa con $t$ intendevo $epsilon$

[Gi81]

Ok. Sì, direi che è giusto. Hai fatto gli stessi miei passaggi, vero?

[marcus1121]

Si ho risolto la disequazione $2/(n^2+1)sqrt((2- epsilon)/epsilon)$
chiedo, però, ancora conferma

[marcus1121]

Mi sorge un dubbio:
dato il limite
$lim_( n->+oo)( (n+2)/(n+1)) =2$
mi chiedo come deve essere $n$: in questo caso $n>=0$;
dato il limite
$lim_( n->+oo)( (n+1)/(n^2)) =0$:in questo caso $n>0$;
$lim_( n->+oo)( (2n)/(n-1)) =1$:in questo caso $n>=0^^n!=1$
Concludo dicendo che in base alla definizione di successione numerica non devo considerare gli $n$ che fanno perdere significato alla frazione se presente.

[giammaria2]

Sì, quegli $n$ non devono essere considerati. Se poi hai $n->+oo$ puoi anche considerare solo i numeri da un certo valore in su: ad esempio, nell'ultimo esercizio puoi considerare solo gli $n>1$.
Per inciso: i risultati del tuo primo ed ultimo limite dovrebbero essere scambiati fra loro; così come sono, puoi solo verificare che il limite è falso.

[marcus1121]

Infatti, nel primo ed ultimo dovevo verificare che entrambi erano falsi.

[marcus1121]

Devo calcolare il valore di $n$ in questo limite

$lim_(n -> +oo)(1/(log_2(1+1/n))) =+oo$

Risolvendo $1/(log_2(1+1/n))>M$ arrivo a

$log_(1+1/n)2>log_(1+1/n)(1+1/n)^M=>(1+1/n)^M<2=>Mlog(1+1/n)M<2/log(1+1/n)$
a questo punto come faccio a calcolare $n$...

[Gi81]

$1/(log_2 (1+1/n))>M <=> log_2(1+1/n)<1/M<=>...$

[marcus1121]

ho provato a calcolare $n$ e ho trovato $n>M/(2-M)$...