Limiti

[marcus1121]

$lim_(n -> +oo)1/sqrt(n)=0$
Ho provato a trovare il valore di $n$ e mi viene $n>1/(e) ^2$

In questo

$lim_(n -> +oo)(3n-1)/(2n)=3/2$ il volore di $n$ mi risulta $n> -1/(2e)$

grazie per la collaborazione

[Gi81]

Potresti farmi vedere i passaggi?

[marcus1121]

Il valore di $n$ è errato...dovrebbe tornare così:
da $ log_2(1+1/n)<1/M$ ottengo
$ log_2(1+1/n)1+1/n<2^-M=>n+1n-n*2^-M<-1$
proseguendo arriviamo a $=>n(1-2^-M)<-1=>n<-1/(1-2^-M)=>n<2^M/(1-2^M)$

[Gi81]

Direi che c'è un errore già all'inizio: non è vero che $1/M = log_2 (2^-M)$.

Al limite l'uguaglianza corretta è $1/M = log_2 (2^(1/M))$

[marcus1121]

Ho sbagliato a digitare intendevo $2^(M^-1)$, per cui proseguendo trovo il valore di $n<1/(2^(1/M)-1)$

[Gi81]

\(\displaystyle 1+\frac{1}{n}< 2^{\frac{1}{M}} \Rightarrow \frac{1}{n}< 2^{\frac{1}{M}} -1 \Rightarrow n> \frac{1}{2^{\frac{1}{M}} -1}\) . Maggiore, non minore

[marcus1121]

Hai ragione: questo vuoi dire?
Essendo $M>0$ la quantità$(1-2^(1/M))$ risulta negativa, per cui

$n(1-2^(1/M))<-1=>n(2^(1/M)-1)>1=>n>1/(2^(1/M)-1)$
Spero di aver capito...

Propongo un altro limite, dovrei trovare il valore di $n$:

$lim_(n ->+oo)3^(n-n^2) =0$
da cui
$log3^(n-n^2)(n-n^2)log3n-n^2n^2-n+epsilon/log3>0$
Il determinante $=1-(4epsilon)/log3$ e risulta positivo per $epsilon Alla fine il valore che trovo è $n>1+sqrt(1-(4epsilon)/log3)$

[marcus1121]

$lim_(n ->+oo)3^(n-n^2) =0$
da cui
$log3^(n-n^2)(n-n^2)log3n-n^2n^2-n+epsilon/log3>0$
Il determinante $=1-(4epsilon)/log3$ e risulta positivo per $epsilon Alla fine il valore che trovo è $n>1+sqrt(1-(4epsilon)/log3)$

Ho provato ad applicare la definizione:
$3^(n-n^2)-epsilon<3^(n-n^2)<3^(n-n^2)+epsilon$ dove $epsilon=0.00001$ e il valore di $>1+sqrt(1-(4epsilon)/log3)$
mi risulta esatto.
Chiedo comunque se il valore di $n$ va bene nonostante l'abbia verificato...
grazie per la collaborazione

[giammaria2]

Attento!
$3^(n-n^2)(n-n^2)log3 e ne risultano modificati tutti i calcoli successivi. Anche se il loro inizio fosse giusto, andrebbe modificato il tuo ragionamento sul discriminante (il determinante è un'altra cosa); quello giusto è: "Essendo $epsilon$ un numero molto piccolo, il discriminante è positivo".
Il tuo risultato avrebbe dovuto dirti che qualcosa non andava bene: si trova sempre un intorno la cui grandezza diminuisce al diminuire di $epsilon$ fino a diventare quasi nulla; stando al tuo risultato vanno invece bene tutti gli $n>2$.
Quella che hai applicato alla fine non è la definizione perché questa richiede di mettere a primo e terzo membro il risultato del limite e non la funzione: tu hai solo scritto $f(x)-epsilon

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[marcus1121]

Ho confuso le disequazioni risolubili con logaritmi con le disequazioni logaritmiche...
ci provo: da
$3^(n-n^2)(n-n^2)log3n-n^2n-n^2n^2-n+log_3(epsilon)>0$
Essendo $epsilon$ molto piccolo il delta che è uguale a $1-4log_3(epsilon) $risulta positivo, per cui otteniamo
$n>(1+sqrt(1-4log_3(epsilon)))/2$

[giammaria2]

Giusto, ma chissà se hai fatto l'intero ragionamento: essendo $epsilon$ molto piccolo, $log_3 epsilon$ è negativo e molto grande in valore assoluto, e quindi è grande anche $Delta$; perciò $n$ è maggiore di un numero grande, confermando il fatto che tende ad infinito.