Limiti
Salve non riesco a capire questi limiti per x che tende a zero
\(\displaystyle \frac{\log(1+x^2)+x\log x}{x(1+\log x)} \)
a me viene\(\displaystyle \frac{x^2+x\log x}{x(1+\log x)} = \frac{x+\log x}{(1+\log x} = \frac{\log x}{(1+\log x)}\)
poi?
Vedendo la soluzione ho pensato: potrebbe anche essere \(\displaystyle \frac{x^2+x\log x}{x(1+\log x)} = \frac{x^2+x\log x}{(x+x\log x} = \frac{x\log x}{(x\log x)}=1\) e il risultato verrebbe. E' corretto cosi? Ma possibile che da \(\displaystyle \frac{\log x}{(1+\log x)} \) non si potrebbe andare avanti? Perchè senza vedere la soluzione non l'avrei mai fatto cosi immediato
\(\displaystyle \frac{2x}{\log x} \) o \(\displaystyle \frac{2}{x\log x} \) che penso siano simili. Ho svolto il llimite e sono arrivato a questo punto. So che \(\displaystyle \log_ax \) per \(\displaystyle a>1 \) fa \(\displaystyle -\infty \) ma non so come comportarmi con la x al numeratore o al denominatore che le sta vicino.
Un ultimo limite sempre per x che tende a zero è il seguente \(\displaystyle \frac{(1+\sqrt[3]{x})^2-e^x}{x^2+\log{(1+x)}} \)
sono arrivato in un punto in cui ho \(\displaystyle \frac{2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}{x^2+x}-\frac {1}{x+1}\)
\(\displaystyle -\frac {1}{x+1} \) viene \(\displaystyle -1 \)e l'altra parte? Grazie in anticipo
\(\displaystyle \frac{\log(1+x^2)+x\log x}{x(1+\log x)} \)
a me viene\(\displaystyle \frac{x^2+x\log x}{x(1+\log x)} = \frac{x+\log x}{(1+\log x} = \frac{\log x}{(1+\log x)}\)
poi?Vedendo la soluzione ho pensato: potrebbe anche essere \(\displaystyle \frac{x^2+x\log x}{x(1+\log x)} = \frac{x^2+x\log x}{(x+x\log x} = \frac{x\log x}{(x\log x)}=1\) e il risultato verrebbe. E' corretto cosi? Ma possibile che da \(\displaystyle \frac{\log x}{(1+\log x)} \) non si potrebbe andare avanti? Perchè senza vedere la soluzione non l'avrei mai fatto cosi immediato
\(\displaystyle \frac{2x}{\log x} \) o \(\displaystyle \frac{2}{x\log x} \) che penso siano simili. Ho svolto il llimite e sono arrivato a questo punto. So che \(\displaystyle \log_ax \) per \(\displaystyle a>1 \) fa \(\displaystyle -\infty \) ma non so come comportarmi con la x al numeratore o al denominatore che le sta vicino.
Un ultimo limite sempre per x che tende a zero è il seguente \(\displaystyle \frac{(1+\sqrt[3]{x})^2-e^x}{x^2+\log{(1+x)}} \)
sono arrivato in un punto in cui ho \(\displaystyle \frac{2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}{x^2+x}-\frac {1}{x+1}\)
\(\displaystyle -\frac {1}{x+1} \) viene \(\displaystyle -1 \)e l'altra parte?
Grazie in anticipo
Risposte
è sufficiente applicare la regola di de l'Hôpital per risolvere gli \(\displaystyle \frac{0}{0} \), cioè:
\(\displaystyle \lim_{{{x}\to{{}}{{}}{n}}} {\frac{f(x)}{g(x)}}= \lim_{{{x}\to{{}}{{}}{n}}} {\frac{f'(x)}{g'(x)}} \), cioè il limite per x che tende a n della tua funzione è uguale al rapporto tra la derivata prima del numeratore e la derivata prima del denominatore.
\(\displaystyle \lim_{{{x}\to{{}}{{}}{n}}} {\frac{f(x)}{g(x)}}= \lim_{{{x}\to{{}}{{}}{n}}} {\frac{f'(x)}{g'(x)}} \), cioè il limite per x che tende a n della tua funzione è uguale al rapporto tra la derivata prima del numeratore e la derivata prima del denominatore.
Ci capisco molto poco: ad esempio, come sei passato dalla prima formula alla seconda? Per la prima, temo che l'unico metodo sia il teorema dell'Hospital (o forse hai usato gli sviluppi in serie?); per la seconda va invece bene semplificare per x e poi ti basta notare che gli unici infiniti sono i due logaritmi e tutto il resto è trascurabile.
Seconda domanda: per x tendente a zero, $x/(log x)$ e $1/(x log x)$ sono ben diversi: il primo è della forma non indeterminata $0/(oo)$ mentre il secondo ha a denominatore la forma indeterminata $0* oo$.
La terza domanda mi è per ora illeggibile e questo origina la seguente richiesta
AI MODERATORI
Quando, rispondendo, cerco di far scorrere i post precedenti il loro testo scorre ma le formule restano ben ferme e quindi solo le prime sono leggibili. Il difetto è nel mio computer o nel sistema?
Seconda domanda: per x tendente a zero, $x/(log x)$ e $1/(x log x)$ sono ben diversi: il primo è della forma non indeterminata $0/(oo)$ mentre il secondo ha a denominatore la forma indeterminata $0* oo$.
La terza domanda mi è per ora illeggibile e questo origina la seguente richiesta
AI MODERATORI
Quando, rispondendo, cerco di far scorrere i post precedenti il loro testo scorre ma le formule restano ben ferme e quindi solo le prime sono leggibili. Il difetto è nel mio computer o nel sistema?
grazie carmelo 
giusto
solo una domanda a giammaria: quando parli dicendo "per la seconda va invece bene semplificare per x e poi ti basta notare che gli unici infiniti sono i due logaritmi e tutto il resto è trascurabile." come dici che si dovrebbe procedere? stai parlando di
\(\displaystyle \frac{\log x}{(1+\log x)} \)giusto?
giusto solo una domanda a giammaria: quando parli dicendo "per la seconda va invece bene semplificare per x e poi ti basta notare che gli unici infiniti sono i due logaritmi e tutto il resto è trascurabile." come dici che si dovrebbe procedere? stai parlando di
\(\displaystyle \frac{\log x}{(1+\log x)} \)giusto?
Sì:
$lim_(x->0)(x^2+xlog x)/(x(1+log x))=lim_(x->0)(x+log x)/(1+log x)=lim_(x->0)(log x)/(logx)=1$
E' bene precisare che avrei dovuto sempre scrivere $x->0^+$; così com'è il limite non esiste perché il logaritmo ammette solo argomenti positivi.
$lim_(x->0)(x^2+xlog x)/(x(1+log x))=lim_(x->0)(x+log x)/(1+log x)=lim_(x->0)(log x)/(logx)=1$
E' bene precisare che avrei dovuto sempre scrivere $x->0^+$; così com'è il limite non esiste perché il logaritmo ammette solo argomenti positivi.
Bene, ma mi potresti ridire bene come sei passato da qui
\(\displaystyle \frac{x+\log x}{1+\log x} \) a qui \(\displaystyle \frac{\log x}{\log x} \)
perdonami
\(\displaystyle \frac{x+\log x}{1+\log x} \) a qui \(\displaystyle \frac{\log x}{\log x} \)
perdonami
Ho fatto quello che avevo detto, cioè ho trascurato gli addendi che non tendono ad infinito, lasciando solo quelli che lo fanno. Se lo preferisci puoi anche mettere in evidenza quello che tende ad infinito (cioè i due logaritmi, che semplifichi fra loro) e notare che alcuni degli addendi così ottenuti tendono a zero.
a ok grazie ma in base a quale principio questo si può fare?
ma in base a quale principio questo si può fare?
In base al ragionamento che ho scritto dopo il mio "Se lo preferisci...": mettendo in evidenza l'infinito (se ce ne sono molti, quello di ordine maggiore) tutti gli altri addendi tendono a zero, quindi è come se non ci fossero stati. Questa regola non si può però applicare quando c'è la differenza fra due infiniti dello stesso ordine; in quel caso anche gli altri addendi possono avere importanza e non è lecito trascurarli.
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