Limiti (71618)

[valenta93]

ciao a tutti
lo so che è ho fatto un'altra domanda ma è un periodo un po' complicato con il programma di 5° e siccome non correggiamo sempre gli esercizi assegnati, e prossimamente avrò la verifica vorrei togliermi dei dubbi :)
grazie :)

ho questo limite da verificare

[math]\lim_{x \to \(-1)} 3^x[/math]

= 1/3

ho scritto la definizione così ottengo un sistema:

3^x1/3-E

svolgengo ad esempio la seconda arrivo fino a questo punto:

3^x>1/3 + 3 elevato alla logaritmo in base 3 di E elevato alla meno 1

scusate ma non riesco a fare in latex il logaritmo

2) ho quest'altro limite:

[math]\lim_{x \to \(-1)}\frac{-2}{3x+2}[/math]

= 2

ho usato anche qui la definizione è ottengo un sistema da questo:

2-E

[BIT5]

la prima

[math] |f(x)-l| < \epsilon \to |3^x- \frac13 | < \epsilon \\ \\ \\ \{3^x- \frac13 < \epsilon \\ 3^x- \frac13 > - \epsilon [/math]

La prima dara'

[math] 3^x< \frac13 + \epsilon [/math]

Ricordando che

[math] a = n^{ \(log_n a \) } [/math]

possiamo dunque scrivere

[math] 3^x < 3^{\log_3 \( \frac13 + \epsilon \) } [/math]

e dunque

[math] x< \log_3 \( \frac13 + \epsilon \) [/math]

Puoi notare che il logaritmo in base 3 di 1/3 + una quantita' infinitesimamente piccola sara' -1 + una quantita' infinitesimamente piccola

Analogamente per la seconda trovi -1-una quantita' infinitesimamente piccola.

Soluzione del sistema sara' dunque

[math] \log_3 \( \frac13 - \epsilon \) < x < \log_3 \(\frac13 + \epsilon \) [/math]

che e' appunto un intorno di -1

Aggiunto 6 minuti più tardi:

il limite e' verificato

quando applichi la definizione, trovi sempre una soluzione del tipo

[math] a- \frac23 [/math]

Discutevamo una disequazione maggiore di zero

-2/3 sta a destra di -1

quindi

[math] - \frac{2(3+ \epsilon)}{3(2+ \epsilon)} < x < - \frac23 [/math]

Analogamente la seconda dara'

[math] x< - \frac{2(3- \epsilon)}{3(2- \epsilon)} \cup x>- \frac23 [/math]

la soluzione del sistema, essendo il secondo valore trovato - (2(3-epsilon ecc ecc))minore del primo - (2(3+epsilon), sara'

[math] - \frac{2(3+ \epsilon)}{3(2+ \epsilon)} < x < - \frac{2(3- \epsilon)}{3(2- \epsilon)} [/math]

che come vedi e' un intorno di -1 (sostituisci ad epsilon un valore tipo 0,00001 e vedrai ;) )

Aggiunto 3 ore 26 minuti più tardi:

perche' dal calcolo (ora provo a interpretare la tua domanda :) ) viene al numeratore una x negativa, che quindi nel calcolo della disequazioni, genera valori esterni, nonostante tutta la disequazione sia < di 0

ad esempio se hai

[math] \frac{-2x}{x+1} < 0 [/math]

Quando discuti fai

N>0 quindi -2x>0 x0 quindi x>-1

Se fai il grafico, i valori negativi vengono per x0

nonostante la disequazione originaria fosse < 0 i valori vengono esterni perche' al numeratore c'è x con coefficiente negativo

Quando ho fatto il limite (stamattina, ora non ricordo piu' bene) direi che nello studio della frazione, veniva -x e quindi anche se dovevo ricavare valori della frazione < 0 , i valori venivano esterni per lo stesso motivo dell'esempio di sopra :)

Aggiunto 16 minuti più tardi:

Ah no no, nella seconda ho fatto casino con il verso.

La prima e' corretta (il minore di epsilon porta comunque a valori esterni per l'esempio di sopra)

nella seconda ho sbagliato invece XD

comunque i valori che trovi sono i miei al contrario :u_u