Limiti

[Matnice]

Ciao, non riesco a risolvere due forme indeterminate, spero possiate aiutarmi.
1) $ lim_(x->+oo) (xsqrt(x) + 1)/(x^2 - 1) $

2) $ lim_(x->+oo) (x sqrt(x) + 1) / (x sqrt(9x) - 1) $
Nel primo ho provato a moltiplicare denominatore e numeratore per $ xsqrt(x) - 1 $ e ottengo $(x^3 -1)/((x^2-1)(xsqrt(x)-1))$.
Scompongo: $((x-1)(x^2+x+1))/((x-1)(x+1)(xsqrt(x)-1))$. Semplifico $ (x-1)$ e mi resta $(x^2+x+1)/((x+1)(xsqrt(x)-1))$. Moltiplico al denominatore e ho $(x^2+x+1)/(x^2sqrt(x)-x+xsqrt(x) -1)$
Scompongo e ho: $ (x^2(1+1/x+1/x^2))/(x^2(sqrt(x)-1/x+sqrt(x)/x-1/x^2))$
Infine semplificando le $x^2$ mi resta solo quello tra le due parentesi, ma se sostituisco avrò al numeratore $1$ mentre al denominatore in $sqrt(x)/x$ avrò un'altra forma indeterminata cioè $oo/oo$, cosa faccio?

Nel secondo limite invece ho provato a moltiplicare per $xsqrt(x)-1$ ma non riesco poi ad andare avanti

[Summerwind78]

ciao

quanto hai

[tex]\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x}[/tex]

hai provato a vederlo come:

[tex]\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}[/tex] ?

non mi pare che sia una forma indeterminata.... sbaglio?

in qualsiasi caso ti complichi la vita con la scomposizione che hai fatto

quando $x$ tende ad infinito puoi tralasciare i termini costanti quindi quello che hai tu diventa

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x\sqrt{x}}{x^{2}} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\infty} = 0[/tex]


prova a fare il secondo limite che tu stesso hai postato facendo lo stesso tipo di ragionamento... ricorda che questo caso il coefficiente moltiplicativo $9$ che hai al denominatore non lo puoi tralasciare

[anonymous_c5d2a1]

"matnice":Ciao, non riesco a risolvere due forme indeterminate, spero possiate aiutarmi.
1) $ lim_(x->+oo) (xsqrt(x) + 1)/(x^2 - 1) $

2) $ lim_(x->+oo) (x sqrt(x) + 1) / (x sqrt(9x) - 1) $
Nel primo ho provato a moltiplicare denominatore e numeratore per $ xsqrt(x) - 1 $ e ottengo $(x^3 -1)/((x^2-1)(xsqrt(x)-1))$.
Scompongo: $((x-1)(x^2+x+1))/((x-1)(x+1)(xsqrt(x)-1))$. Semplifico $ (x-1)$ e mi resta $(x^2+x+1)/((x+1)(xsqrt(x)-1))$. Moltiplico al denominatore e ho $(x^2+x+1)/(x^2sqrt(x)-x+xsqrt(x) -1)$
Scompongo e ho: $ (x^2(1+1/x+1/x^2))/(x^2(sqrt(x)-1/x+sqrt(x)/x-1/x^2))$
Infine semplificando le $x^2$ mi resta solo quello tra le due parentesi, ma se sostituisco avrò al numeratore $1$ mentre al denominatore in $sqrt(x)/x$ avrò un'altra forma indeterminata cioè $oo/oo$, cosa faccio?

Nel secondo limite invece ho provato a moltiplicare per $xsqrt(x)-1$ ma non riesco poi ad andare avanti

Il primo potresti vederlo così:
$lim_(x->+oo)(xsqrt(x)+1)/(x^2-1)$
$lim_(x->+oo)(x*x^(1/2)+1)/(x^2-1)$
$lim_(x->+oo)(x^(3/2)+1)/(x^2-1)$
$lim_(x->+oo)(x^(3/2)(1+1/x^(3/2)))/(x^2(1-1/x^2))$
Mi sembra più semplice. Questo lo farei anche nel secondo. Se hai dubbi chiedi pure.

[Matnice]

Solo una cosa non ho capito. @anonymous_c5d2a1 quando poi arrivi a $lim_(x->+oo)(x^(3/2)(1+1/x^(3/2)))/(x^2(1-1/x^2))$, poi fai la sottrazione degli esponenti di x e ti viene $(1(1+1/x^(3/2)))/(sqrt(x)(1-1/x^2)) $. Sostituisci e ottieni 0 giusto?
Summerwind velocissimo il metodo che hai usato
Ah, poi avrei un altro problema. Non mi riesce la verifica di due limiti: $lim_(x->2) (6/x) = 3$ e $lim_(x->+oo) (1/x)=0$
In enrambi i limiti devo verificare che $|f(x) - l|<ε$. Quindi 1) $|6/x-3|<ε$ e 2) $|1/x|<ε$.
1)$6/x-3<ε $ U $6/x-3> -ε$ giusto?

2)Ho fatto la stessa cosa
Ho provato poi a risolvere le disequazioni facendo il minimo comune multiplo e trovando gli intervalli di x, però i risultati che trovo non coincidono con quelli del libro. Non è che devo seguire un altro procedimento?

[minomic]

Ciao,
prendiamo $$\lim_{x\to 2}\frac{6}{x}=3$$ Impostiamo la disequazione $$\left|\frac{6}{x}-3\right| < \epsilon$$ che si traduce nel seguente sistema $$\begin{cases}
\frac{6}{x}-3> -\epsilon \\ \frac{6}{x}-3 < \epsilon
\end{cases}\quad \rightarrow \quad \begin{cases}
\frac{6}{x}-3+\epsilon > 0 \\ \frac{6}{x}-3-\epsilon < 0
\end{cases}
$$ Ora fai il minimo con la $x$ e scrivi le soluzioni del sistema: dovrai ottenere un intorno di $2$.

[Matnice]

Ok, a me viene: $ -(6)/(3+epsilon)

Cita

Segnala

[minomic]

Dunque... il sistema diventa $$\begin{cases}\frac{6+\left(-3+\epsilon\right)x}{x}>0 \\ \frac{6-\left(3+\epsilon\right)x}{x}<0\end{cases}$$ Nella prima devi fare attenzione al fatto che $$-3+\epsilon < 0$$ perché \(\epsilon\) è piccolo.

Risolvendo si trova quindi $$\begin{cases}0 \frac{6}{3+\epsilon}\end{cases}$$ Tenendo presente che $$\frac{6}{3+\epsilon} < \frac{6}{3-\epsilon}$$ hai il risultato del libro.

[Matnice]

Ok, grazie! Avevo fatto un errore stupido!
Posso postare un altro limite che non so risolvere?

[minomic]

Certo!

[Matnice]

$lim_(x->0) (sqrt(x+2)-sqrt(2))/(sqrt(x+4)-2)$

Ho provato a moltiplicare la prima volta per il fattore razionalizzante del numeratore ma non ne uscivo fuori, allora ho provato a moltiplicare per il fattore razionalizzante del denominatore, ma idem.

[minomic]

C'eri quasi. Devi moltiplicare sopra e sotto per entrambi i fattori razionalizzanti, cioè per $$\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x+4}+2\right)$$ Quindi semplifichi la $x$ che viene sia al numeratore e al denominatore e passi al limite. Risultato: $sqrt(2)$.

[anonymous_c5d2a1]

"matnice":$lim_(x->0) (sqrt(x+2)-sqrt(2))/(sqrt(x+4)-2)$

Ho provato a moltiplicare la prima volta per il fattore razionalizzante del numeratore ma non ne uscivo fuori, allora ho provato a moltiplicare per il fattore razionalizzante del denominatore, ma idem.

E se invece razionalizzassi numeratore e denominatore?
$lim_(x->0) (sqrt(x+2)-sqrt(2))/(sqrt(x+4)-2)*(sqrt(x+2)+sqrt2)/(sqrt(x+2)+sqrt2)*(sqrt(x+4)+2)/(sqrt(x+4)+2)$. Prova.

[Matnice]

Finalmente mi è risultato! Ho seguito il procedimento di minomic. @anonymous_c5d2a1 ma quello che dici tu non è la stessa cosa di quello che mi ha detto minomic?

[anonymous_c5d2a1]

Yes. Probabilmente mentre scrivevo il messaggio lui pubblicava. Accade!

[Matnice]

Invece come razionalizzereste $lim_(x->+oo)root(3)(x^3+2x^2+1) - x$ ?

[minomic]

Qui direi di sfruttare il fatto che $$A^3-B^3 = \left(A-B\right)\left(A^2+B^2+AB\right)$$ quindi direi di moltiplicare e dividere tutto per $$\sqrt[3]{\left(\star\right)^2}+x^2+x\sqrt[3]{\star}$$ In questo modo ottieni $$\frac{\cancel{x^3}+2x^2+1-\cancel{x^3}}{\sqrt[3]{\left(\star\right)^2}+x^2+x\sqrt[3]{\star}}$$ Ora raccogli sopra e sotto una $x^2$ e semplifichi. Resta $$\frac{2+\ldots}{\sqrt[3]{1+\ldots}+1+\sqrt[3]{1+\ldots}}$$ dove tutto quello indicato con \(\ldots\) tende a $0$. In conclusione passi al limite e il risultato è $2/3$.