Limiti

[paperino001]

Salve, come si dimostra che $ \lim_{x \to \0}(1-cos(x))/x = 0 $ ?
Sostituendo 0 alla x si ottiene la forma indeterminata...

grazie

[Luca9712]

Quel limite dovrebbe essere uguale a $0$.

[paperino001]

Giusto, ma come lo dimostro ?

[Luca9712]

Usa la regola di de l'Hôpital

p.s. : ma perchè avevi messo $1$? Ti avevo fatto uno scherzetto il testo

[paperino001]

non c'è un modo più semplice ?
come si fa a dimostrare che, secondo la definizione, se diminuisce l'intervallo sulle y diminuisce anche quello sulle x in quel limite ?

[burm87]

Ma l'Hopital è semplicissimo.
Se vuoi verificare il limite mediante la definizione ti trovi a dover risolvere $-epsilon<(1-cosx)/x-0

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[paperino001]

"burm87":Se vuoi verificare il limite mediante la definizione ti trovi a dover risolvere $-epsilon<(1-cosx)/x-0
Come si risolve una cosa di quel tipo ?

[burm87]

Potresti svolgere il sistema associato ${((1-cosx)/x> -epsilon),((1-cosx)/x

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[Sk_Anonymous]

In genere quel limite si ritrova quando si vuol dimostrare che la derivata di cosx è -sinx. D'altra parte per usare l'Hopital occorre già sapere che D(cosx)=-sinx ! Si tratta quindi del classico cane che si morde la coda...
La dimostrazione giusta si trova in tutti i testi ( anche di Scuola Superiore) e si basa sulla nota formula :
$1-cosx=2sin^2x/2$ e sugli arcinoti limiti notevoli $lim_{x->0}sinx=0,lim_{x->0}sinx /x=1$
Abbiamo dunque :
$lim_{x->0}(1-cosx)/x=lim_{x->0}(2sin^2x/2)/x= lim_{x->0} sin (x/2) cdot lim_{x->0}(sin(x/2))/(x/2)=0 cdot 1=0$