Limiti..

[Lucy941]

Salve sono nuova del Sito e mi servirebbe un aiutino x quanto riguarda i limiti perché domani ho compito in classe e la prof non ci ha minimamente spiegato questo argomento... potreste risolvermi per favore questi esercizi? (magari spiegandone anche il procedimento) cosi mi vado facendo un'idea? Grazie mille

- |lim (√3x - 6) = 0
x ---> 12

- |lim √x+7 = 2
x ---> 2

- |lim(√3x+2)=5
x---> ?

- |lim √3+x = 2
x---> 1

[giammaria2]

Benvenuta nel forum. Svolgo solo l'ultima, facendo i commenti necessari per spiegartela.
Voglio che la differenza fra la funzione ed il risultato sia, in valore assoluto, piccolissima, cioè minore di un numero (che per tradizione è indicato con $epsilon$) positivo e piccolissimo, cioè voglio che
$|sqrt(3+x)-2| Come sai, questo equivale a dire che deve valere il sistema
${(sqrt(3+x)-2 -epsilon):}$

Risolvo la prima disequazione e comincio ad isolare la radice
$sqrt(3+x)<2+epsilon$
Ho la certezza che i due membri sono positivi, quindi mi basta imporre che la radice esista ed elevare a quadrato:
${(3+x>=0),(3+x<4+4epsilon+epsilon^2):}->{(x>=-3),(x<1+4epsilon+4epsilon^2):}-> -3<=x<1+4epsilon+4epsilon^2$
Se non vedi subito dove posizionare i capisaldi che dipendono da $epsilon$, un metodo non molto rigoroso ma molto comodo è dare ad $epsilon$ un valore piccolo e fare i calcoli; ad esempio, con $epsilon=0,001$ ottieni poco più di $1$.

Passiamo ora alla seconda disequazione:
$sqrt(3+x)>2-epsilon$
Poiché $epsilon$ è molto piccolo, anche qui ho la certezza che i due membri sono positivi (altrimenti dovrei distinguere fra i due segni possibili del secondo membro e poi unire i due casi) e quindi posso elevare a quadrato; la condizione di esistenza è inutile perché il radicando risulterà maggiore di un quadrato e quindi mi basta fare
$3+x>4-4epsilon+epsilon^2->x>1-4epsilon+epsilon^2$
Con $epsilon=0,001$, vedi che il risultato a secondo membro è poco meno di 1.

A questo punto metti a sistema le due disequazioni iniziali e trovi che son entrambe verificate per
$1-4epsilon+epsilon^2 cioè fra un po' meno di 1 e un po' più di 1. Solo ora guardi a cosa tendeva $x$: il limite è verificato se quel valore sta nell'intervallo trovato (o in uno degli intervalli trovati, se ce ne fossero due o più)