Limite x che tende a 0

[Felice.]

Salve ragazzi,ho un problema con questo limite.
$lim x->pi(cos x+1)/(x-pi)^2$
Per semplificare ho posto la variabile $z=x-pi$ dopodiche il limite è diventato$ lim x->0 (cos z cos pi-sin z sin pi+1)/z^2$
tuttavia il risultato del limite che è$1/2$ non mi esce io all'ultimo passaggio che ho scritto sostitisco e mi trovo il risultato che è ben diverso, sapreste dirmi dove sbaglio?

[anonymous_0b37e9]

Il seguente passaggio non è molto elegante:

Formula di addizione

$cos(z+\pi)=coszcos\pi-sinzsin\pi=-cosz$

Piuttosto:

Archi associati

$cos(z+\pi)=-cosz$

Ad ogni modo:

$[z=x-\pi] rarr$

$rarr lim_(x->\pi)(cosx+1)/(x-\pi)^2=lim_(z->0)(1+cos(z+\pi))/z^2=lim_(z->0)(1-cosz)/z^2=lim_(z->0)((1-cosz)(1+cosz))/(z^2(1+cosz))=$

$=lim_(z->0)(1-cos^2z)/(z^2(1+cosz))=lim_(z->0)sin^2z/(z^2(1+cosz))=lim_(z->0)sinz/zsinz/z1/(1+cosz)=1/2$

[anto_zoolander]

anche notando che $cos(x)=-(-cos(x))=-cos(pi-x)=-cos(x-pi)$

$lim_(x->pi) (1-cos(x-pi))/(x-pi)^2=1/2$

[anonymous_0b37e9]

Certamente. Per quanto mi riguarda, anche se preferisco non ricorrere a un secondo limite notevole, trovo molto elegante evitare il cambiamento di variabile.