Limite un po' particolare
Buonasera a tutti!
Inventando esercizi di varia natura (
), è venuto fuori il calcolo del limite seguente:
$\lim_{x \to \-infty}int_{0}^{x} e^(t^3) dt$.
1. Non è possibile scrivere esplicitamente la funzione integrale interna (almeno con metodi "elementari"). Dunque devo ragionare sulla natura stessa della funzione. Tuttavia non arrivo a nulla di concreto.
2. Calcolando il limite con Derive, ottengo $-(1/3)!$. Io avevo pensato ad una strada: la funzione integranda è asintotica a $e^x$ per $x\to\-infty$ e dunque potevo riferirmi a quest'ultima per il calcolo di detto limite (sperando di non dire fesserie, dal momento che questi argomenti non li ho mai affrontati al liceo! Mi scuso in anticipo!). Tuttavia procedendo così il risultato del limite sarebbe $-1$, contrariamente al risultato fornito dal calcolatore.
Aspettando dei suggerimenti, vi ringrazio anticipatamente.
Andrea.
Inventando esercizi di varia natura (
), è venuto fuori il calcolo del limite seguente:$\lim_{x \to \-infty}int_{0}^{x} e^(t^3) dt$.
1. Non è possibile scrivere esplicitamente la funzione integrale interna (almeno con metodi "elementari"). Dunque devo ragionare sulla natura stessa della funzione. Tuttavia non arrivo a nulla di concreto.
2. Calcolando il limite con Derive, ottengo $-(1/3)!$. Io avevo pensato ad una strada: la funzione integranda è asintotica a $e^x$ per $x\to\-infty$ e dunque potevo riferirmi a quest'ultima per il calcolo di detto limite (sperando di non dire fesserie, dal momento che questi argomenti non li ho mai affrontati al liceo! Mi scuso in anticipo!). Tuttavia procedendo così il risultato del limite sarebbe $-1$, contrariamente al risultato fornito dal calcolatore.
Aspettando dei suggerimenti, vi ringrazio anticipatamente.
Andrea.
Risposte
Nessuna risposta?!
Se avete di bisogno di capire meglio i miei dubbi, chiedete senza problemi!
Se avete di bisogno di capire meglio i miei dubbi, chiedete senza problemi!
Ciao Andrea,
tutto quello che ti posso dire, guardando il risultato che ti ha fornito derive, è che probabilmente c'è di mezzo la funzione $\Gamma$ di Eulero. A quanto ne so io, con quella funzione si può estendere il domino della funzione fattoriale ai reali (e anche ai complessi, se ben ricordo. Tu sapresti dire a che cosa è uguale $(-1/3)!$?).
Spero di non aver detto fesserie. Ciao,
Paolo
tutto quello che ti posso dire, guardando il risultato che ti ha fornito derive, è che probabilmente c'è di mezzo la funzione $\Gamma$ di Eulero. A quanto ne so io, con quella funzione si può estendere il domino della funzione fattoriale ai reali (e anche ai complessi, se ben ricordo. Tu sapresti dire a che cosa è uguale $(-1/3)!$?).
Spero di non aver detto fesserie. Ciao,
Paolo
In effetti il fattoriale lo definiamo solo per numeri naturali... Mi sa che ho galoppato troppo con la fantasia! Ridimensiono la portata di questo esercizio, che è meglio!
Be', potrebbe comunque essere uno spunto per un approfondimento (o forse un assaggio indolore) del meraviglioso mondo dell'analisi complessa. Su wiki, trovi qualcosa sulla $Gamma$. Buono studio e se hai ancora bisogno fai un fischio.
Paolo
Paolo
Esatto! Ho appena controllato su wikipedia... Tuttavia non riesco comunque a calcolare il limite... Ci studio ancora un po'...
Il caldo colpisce forte!
Il caldo colpisce forte!
Forse non è poi così difficile come sembra.
Anzitutto scriviamo l'integrale improprio così com'è. Per cui
$int_0^(-oo) e^t^3 dt$
Adesso, con sostituzione ($t^3=-x$; lascio a te il piacere di trovare il differenziale; mi limito solo a farti notare come magicamente gli estremi di integrazione diventino quelli che servono a noi) riscriviamo l'integrale come
$-1/3 int_0^(+oo) x^(1/3-1)e^(-x)dx$.
Ora, l'integrale che figura in questa espressione è proprio $Gamma(1/3)$:
$-1/3 int_0^(+oo) x^(1/3-1)e^(-x)dx=-1/3Gamma(1/3)$. Sfruttando la proprietà "ricorsiva" della $Gamma$ è fatta:
$-1/3Gamma(1/3)=-Gamma(1/3+1)=-(1/3)!$, come volevasi dimostrare.
Spero di non aver preso abbagli (il caldo...).
Grazie per aver inventato l'esercizio.
Paolo
Anzitutto scriviamo l'integrale improprio così com'è. Per cui
$int_0^(-oo) e^t^3 dt$
Adesso, con sostituzione ($t^3=-x$; lascio a te il piacere di trovare il differenziale; mi limito solo a farti notare come magicamente gli estremi di integrazione diventino quelli che servono a noi) riscriviamo l'integrale come
$-1/3 int_0^(+oo) x^(1/3-1)e^(-x)dx$.
Ora, l'integrale che figura in questa espressione è proprio $Gamma(1/3)$:
$-1/3 int_0^(+oo) x^(1/3-1)e^(-x)dx=-1/3Gamma(1/3)$. Sfruttando la proprietà "ricorsiva" della $Gamma$ è fatta:
$-1/3Gamma(1/3)=-Gamma(1/3+1)=-(1/3)!$, come volevasi dimostrare.
Spero di non aver preso abbagli (il caldo...
).Grazie per aver inventato l'esercizio.
Paolo
Ci credi che stavo arrivando anche io al risultato?! Solo che mi ero bloccato al passaggio in cui tu parli della proprietà ricorsiva di $\Gamma$... Potresti illustrarmela?! Ho trovato una cosa simile in rete, ma non riesco a portare a termine i calcoli...
Grazie ancora!
Grazie ancora!
La trovi sulla voce di Wiki: $Gamma(z+1)=zGamma(z)$ (io ho sfruttato la proprietà simmetrica dell'uguaglianza ). E' ovvio che valga, altrimenti non avresti più la nota definizione ricorsiva (anche solo per i naturali) di $n! =n(n-1)!$.
Tutto chiaro?
). E' ovvio che valga, altrimenti non avresti più la nota definizione ricorsiva (anche solo per i naturali) di $n! =n(n-1)!$. Tutto chiaro?
Ok! Tutto chiaro, grazie mille!!
"Andrea90":
Ok! Tutto chiaro, grazie mille!!
Figurati, è un piacere.
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