Limite trigonometrico (con metodi "elementari")
Salve a tutti.
Una mia amica deve risolvere questo limite
$lim_(x->0) \frac{sin^2(x)-x^2}{x^4}$
senza Hopital e Taylor, quindi con metodi elementari.
Non riuscendoci ha chiesto aiuto a me, ma dopo un'ora di sostituzioni (raccogliere $x^2$ al numeratore, sostituire $sin^2(x)$ con $(1-cos(2x))/2$ o con $1-cos^2(x)$, dividere il prodotto notevole al numeratore, moltiplicare per chissà cosa,...) mi sono arreso!
Così posto qui perché magari più teste sono meglio di 2 (oltre che il sottoscritto sono 6-7 anni che non fa questi limiti e magari mi sfugge qualcosa).
Grazie a chiunque mi dà un hint.
PS.
@moderatori
Posto qui invece che nella sezione di analisi proprio perché questo limite è da risolvere con metodi elementari (quindi deduco quarto-quinto scientifico...)
Una mia amica deve risolvere questo limite
$lim_(x->0) \frac{sin^2(x)-x^2}{x^4}$
senza Hopital e Taylor, quindi con metodi elementari.
Non riuscendoci ha chiesto aiuto a me, ma dopo un'ora di sostituzioni (raccogliere $x^2$ al numeratore, sostituire $sin^2(x)$ con $(1-cos(2x))/2$ o con $1-cos^2(x)$, dividere il prodotto notevole al numeratore, moltiplicare per chissà cosa,...) mi sono arreso!
Così posto qui perché magari più teste sono meglio di 2 (oltre che il sottoscritto sono 6-7 anni che non fa questi limiti e magari mi sfugge qualcosa).
Grazie a chiunque mi dà un hint.
PS.
@moderatori
Posto qui invece che nella sezione di analisi proprio perché questo limite è da risolvere con metodi elementari (quindi deduco quarto-quinto scientifico...)
Risposte
James,se cerchi nel Forum trovi una bella verifica "elementare"(gentilmente fornita da Palliit)
del fatto che $EElim_(x to 0)(x-"sen"x)/(x^3)=1/6$:
vedi se t'è utile a verificare che quella cosa lì converge a $-1/3$
..
Saluti dal web.
del fatto che $EElim_(x to 0)(x-"sen"x)/(x^3)=1/6$:
vedi se t'è utile a verificare che quella cosa lì converge a $-1/3$
..Saluti dal web.
"theras":
James,se cerchi nel Forum trovi una bella verifica "elementare"(gentilmente fornita da Palliit)
del fatto che $EElim_(x to 0)(x-"sen"x)/(x^3)=1/6$:
vedi se t'è utile a verificare che quella cosa lì converge a $-1/3$
Saluti dal web.
Grazie theras!
Mannaggia, certo che m'è utile, perché dividendo il prodotto notevole
$x^2(\frac{sin^2(x)}{x^2}-1)/x^4= (\frac{sin^2(x)}{x^2}-1)/x^2= ((sin(x)/x+1)(sin(x)/x-1))/x^2=$
sapendo che per $x->0$, $sin(x)+x->2$
$=2(sin(x)/x-1)/x^2= 2(sin(x)-x)/x^3$
che è moooolto simile - e ci ero arrivato anche io prima, ma ho provato ad andare avanti con metodi elementari senza successo - a quello che scrivi che ora cerco (ho cercato in generale prima di postare, ma nulla, sennò non postavo proprio).
PS.
Ovviamente quanto ho scritto io andrebbe formalizzato molto meglio evitanto - tra l'altro - se possibile di sostituire $sin(x)+x$ direttamente con il 2 per poi andare avanti con i calcoli (volevo solo rendere l'idea).
EDIT
L'ho trovato, ma è un po' complicatuccio, voglio vedere se ne trovo una soluzione più semplice.
Comunque ringrazio tutti coloro che m'hanno dato una mano: non solo theras che è più evidente, ma - ad es. - anche Palliit di cui ho trovato il messaggio indicato da theras e altri.
Beh,James,allora non vedo soluzioni didattiche diverse dalla "furbata" d'una sorta d'applicazione camuffata della
formula di Taylor
(che parta dalla funzione ausiliaria usata nella dimostrazione di quella generalizzazione del teorema di Lagrange..):
ma ciò,come in tal caso ho acquisito per certo proprio quando Palliit m'ha fatto conoscere quella verifica,
non significa che non ce ne siano altre già note e "pronte all'uso" ..
Saluti dal web.
formula di Taylor
(che parta dalla funzione ausiliaria usata nella dimostrazione di quella generalizzazione del teorema di Lagrange..):
ma ciò,come in tal caso ho acquisito per certo proprio quando Palliit m'ha fatto conoscere quella verifica,
non significa che non ce ne siano altre già note e "pronte all'uso"
..Saluti dal web.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo