Limite (senza de L'Hospital)

[desko]

Mi sono imbattuto in un limite che col teorema di de L'Hospital è molto semplice, ma dovrei risolverlo senza ricorrere a questa risorsa:
$\lim_{x->0}(sinx-x)/x^3$.
Le ho provate un po' tutte, ma non riesco ad uscire da forme indeterminate come [tex]\frac{0}{0}[/tex] o come [tex]\infty-\infty[/tex].
Grazie

[cenzo1]

Prova con lo sviluppo in serie di Taylor di $sinx$

[Seneca1]

Io credo che l'utente non volesse risolverlo con Taylor, ma con i limiti notevoli.

In tal caso dubito che si possa.

[desko]

"Seneca":Io credo che l'utente non volesse risolverlo con Taylor, ma con i limiti notevoli.

In tal caso dubito che si possa.

Esatto: Taylor è anche "peggio" di de L'Hospital.

[cenzo1]

"desko":[quote="Seneca"]Io credo che l'utente non volesse risolverlo con Taylor, ma con i limiti notevoli.

In tal caso dubito che si possa.

Esatto: Taylor è anche "peggio" di de L'Hospital.[/quote]
Con la sostiuzione $x=3y$ il limite diventa:

$L=\lim_{x->0}(sinx-x)/x^3=\lim_{y->0}(sin(3y)-3y)/(27y^3)=$

Tenendo conto della formula di "triplicazione" del seno:

$=1/27*\lim_{y->0}(3siny-4sin^3y-3y)/y^3=1/27*\lim_{y->0}(3(siny-y)/y^3-4(siny/y)^3)=1/9*\lim_{y->0}(siny-y)/y^3-4/27=1/9L-4/27$

Quindi $L=1/9L-4/27$ da cui ottieni $L=-1/6$

Io comunque resto dell'idea che con l'approssimazione di Taylor $sinx=x-x^3/6$, quel limite lo fai in un attimo.

[Seneca1]

"cenzo":
Con la sostiuzione $x=3y$ il limite diventa:

$L=\lim_{x->0}(sinx-x)/x^3=\lim_{y->0}(sin(3y)-3y)/(27y^3)=$

Tenendo conto della formula di "triplicazione" del seno:

$=1/27*\lim_{y->0}(3siny-4sin^3y-3y)/y^3=1/27*\lim_{y->0}(3(siny-y)/y^3-4(siny/y)^3)=1/9*\lim_{y->0}(siny-y)/y^3-4/27=1/9L-4/27$

Quindi $L=1/9L-4/27$ da cui ottieni $L=-1/6$

Io comunque resto dell'idea che con l'approssimazione di Taylor $sinx=x-x^3/6$, quel limite lo fai in un attimo.

Complimenti Cenzo!

[cenzo1]

"Seneca":Complimenti Cenzo!

Grazie Seneca, ma non me li merito. Per correttezza devo precisare che quella dimostrazione l'ho scovata cercando in internet ( ).
L'ho riportata perchè mi sembrava interessante ed "educativa" (se non sbaglio anche alcuni integrali si possono risolvere con quella tecnica).
Inoltre, ma questa è solo una mia opinione, quel limite è proprio un esempio di quando (e quanto!) conviene usare lo sviluppo di Taylor.
Ciao

[desko]

"cenzo":[quote="Seneca"]Complimenti Cenzo!

Grazie Seneca, ma non me li merito. Per correttezza devo precisare che quella dimostrazione l'ho scovata cercando in internet ( ).
L'ho riportata perchè mi sembrava interessante ed "educativa" (se non sbaglio anche alcuni integrali si possono risolvere con quella tecnica).
Inoltre, ma questa è solo una mia opinione, quel limite è proprio un esempio di quando (e quanto!) conviene usare lo sviluppo di Taylor.
Ciao [/quote]
È una tecnica che avevo visto negli integrali, ma mai nei limiti: spettacolare.
Io con Taylor sono poco allenato, per me questo è un ottimo esempio per mostrare la potenza del metodo di de L'Hospital, ma era da risolvere senza questi potenti mezzi.
Grazie ancora.