Limite "Fituso"

[enpires1]

Ragazzi, sto da un pò di tempo sbattendo la testa contro un limite e purtroppo non riesco a trovare la strada giusta x risolverlo (ho provato di tutto, sommando e moltiplicando l'impossibile, col teorema dei carabinieri ecc) lo propongo a voi:

$\lim_{n \to \infty} (n)/sqrt(n+1) - (n + 1)/sqrt(n)

Grazie in anticipo

[Gatto891]

A occhio, moltiplicando e dividendo per $n/sqrt(n+1) + (n+1)/sqrt(n)$ viene qualcosa di sensato?

[Dorian1]

Oppure razionalizzando le due frazioni...

[@melia]

"enpires":$\lim_{n \to \infty} (n)/sqrt(n+1) - (n + 1)/sqrt(n)$

$\lim_{n \to \infty} (n)/sqrt(n+1) - (n + 1)/sqrt(n)=\lim_{n \to \infty} (n*sqrtn-n*sqrt(n+1)-sqrt(n+1))/(sqrt(n+1) *sqrt(n))=$
$=\lim_{n \to \infty} n*(sqrtn-sqrt(n+1))/(sqrt(n+1) *sqrt(n))-\lim_{n \to \infty} sqrt(n+1)/(sqrt(n+1) *sqrt(n))=$
il secondo limite va a 0 mentre nel primo razionalizzo il numeratore
$=\lim_{n \to \infty} n*(n-n-1)/(sqrt(n+1) *sqrt(n)*(sqrtn+sqrt(n+1)))-0=\lim_{n \to \infty} -n/(n*sqrt(n+1) +n*sqrt(n)+sqrt(n))=$
$=\lim_{n \to \infty} -1/(sqrt(n+1) +sqrt(n)+1/sqrt(n))=0$

Può andare?

[enpires1]

Ragazzi grazie mille per le risposte!!! Molto gentili ed eloquenti come sempre... adesso i problemini stanno uscendo fuori con un benedetto limite di successione... Il risultato dovrebbe essere 1, ci sono arrivato ma non so come giustificare la risposta. Mi spiego meglio. La successione è questa
$\lim_{n \to \infty}(sqrt(n) + [log[base3](14n^5 + 3n^2 + 1)]^5) root(4)(sin(1/(n^2)) + 1/(n^3))$
L'ho spezzato in
$\lim_{n \to \infty} sqrt(n)*root(4)(sin(1/(n^2)) + 1/(n^3)) + \lim_{n \to \infty}[log[base3](14n^5 + 3n^2 + 1)]^5 root(4)(sin(1/(n^2)) + 1/(n^3))
La prima parte riesco a dimostrare che è uguale ad 1:
$= \lim_{n \to \infty} root(4)(n^2*sin(1/(n^2)) + n^2*(1/(n^3)) $
Chiamando $ t = 1/(n^2) , (t->0) $ ottengo
$lim_(t->0) root(4)(sin(t)/t + sqrt(t)) = root(4)(1 + o(1)) = 1 $

Adesso il problema è dimostrare che $ \lim_{n \to \infty}[log[base3](14n^5 + 3n^2 + 1)]^5 root(4)(sin(1/(n^2)) + 1/(n^3)) , n \to \infty$ vale 0...

Grazie ancora x l'aiuto

[enpires1]

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