Limite problematico
Devo calcolare $lim_(x->+oo) (root(4)(x^3) - root(3)(x^2) + sqrt(x)-x)$. Riordino i termini: $lim_(x->+oo)[(root(4)(x^3)+sqrt(x))- (root(3)(x^2) +x)]$
Il limite si presenta nella forma indeterminata $+oo -oo$. Il mio intento è quindi quello che scompaia la differenza $(root(4)(x^3) +sqrt(x)) - (root(3)(x^2) +x)$ e appaia invece la somma $(root(4)(x^3) + sqrt(x)) + (root(3)(x^2) +x)$.
Ho provato quindi a moltiplicare la funzione per $(root(4)(x^3) + sqrt(x)) + (root(3)(x^2) +x)$, però al numeratore mi ritrovo sempre con la forma indeterminata $+oo -oo$.
Il limite si presenta nella forma indeterminata $+oo -oo$. Il mio intento è quindi quello che scompaia la differenza $(root(4)(x^3) +sqrt(x)) - (root(3)(x^2) +x)$ e appaia invece la somma $(root(4)(x^3) + sqrt(x)) + (root(3)(x^2) +x)$.
Ho provato quindi a moltiplicare la funzione per $(root(4)(x^3) + sqrt(x)) + (root(3)(x^2) +x)$, però al numeratore mi ritrovo sempre con la forma indeterminata $+oo -oo$.
Risposte
Raccogli $x$
Dici di raccogliere dopo che ho applicato il prodotto notevole $A^2 - B^2$? Perché dopo averlo applicato e raccogliendo la $x$, mi ritrovo nella forma $(x(sqrt(x) +2root(4)(x) +1 -root(3)x -2root(3)(x^2) -x))/((root(4)(x^3) + sqrt(x)) + (root(3)(x^2)+x))$.
Quello che axpgn ha tentato di trasmetterti è che $x$ è l'infinito di ordine maggiore, tutti gli altri sono trascurabili.
Non serve fare calcoli in questo caso.
Non serve fare calcoli in questo caso.
Quindi devo considerare $lim_(x->+oo) [x(1/x*root(4)(x^3) - 1/x root(3)(x^2) + 1/x sqrt(x) -1)]$ Siccome $x$ tende a $oo$ più rapidamente degli altri, gli altri infiniti non vanno considerati. è questo il tuo ragionamento?
E, se ho interpretato bene, perché non andrebbero considerati? Puoi rispondermi a questa domanda in termini matematici? La cosa mi interessa molto, perché non mi sono mai imbattuto in un caso simile.
E, se ho interpretato bene, perché non andrebbero considerati? Puoi rispondermi a questa domanda in termini matematici? La cosa mi interessa molto, perché non mi sono mai imbattuto in un caso simile.
E' come il caso del limite delle funzioni polinomiali, del tipo:
$lim_(x->+infty)[a_n*x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+a_(n-2)*x^(n-2)+...+a_1*x+a_0]$
con $a_n, ... a_0 in RR$, $ninNN$.
Chiaramente chi "comanda" nella funzione, ai fini del calcolo del limite, è $a_n*x^n$.
Il tuo caso è del tutto analogo perché l'infinito di grado massimo è proprio $x$, che ha grado $1$, in quanto:
$1>3/4>2/3>1/2$
Alternativamente, come ti ha detto axpgn, raccogli il termine di grado massimo,...
$lim_(x->+infty)[a_n*x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+a_(n-2)*x^(n-2)+...+a_1*x+a_0]$
con $a_n, ... a_0 in RR$, $ninNN$.
Chiaramente chi "comanda" nella funzione, ai fini del calcolo del limite, è $a_n*x^n$.
Il tuo caso è del tutto analogo perché l'infinito di grado massimo è proprio $x$, che ha grado $1$, in quanto:
$1>3/4>2/3>1/2$
Alternativamente, come ti ha detto axpgn, raccogli il termine di grado massimo,...
È sempre la solita storia della "gerarchia degli infiniti" (come ha spiegato @Sir): raccogli $x$ e tutto va a zero … tranne ovviamente $-x$ che diventa $-1$ e sei a posto … 
Ora ho capito.
Grazie a entrambi!
Grazie a entrambi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo