Limite per raggio che tende all'infinito della circonferenza
Ciao a tutti! Quest'anno mi avvio anche io all'esame finale! ho deciso di partire con l'inversione circolare e dimostrare, facendo i calcoli che quando il raggio tende all'infinito la circonferenza diventa una retta e quindi l'inversione diventa una simmetria.
Non essendo la circonferenza una funzione, al mio livello, non è possibile eseguire il limite per raggio che tende all'infinito, quindi il mio prof mi ha consigliato di esprimere l'equazione della circonferenza esplicitando la y e quindi analizzare prima la semicirconferenza "sopra" e poi quella "sotto" al diametro perpendicolare all'asse delle x. Il mio problema è che non riesco a ricavare l'equazione della semicirconferenza e quindi a concludere il problema.
Riporto i calcoli eseguiti fino ad ora (Circonferenza con centro in $(x_P,y_P)$ e raggio $r$)
$(x-x_p)^2+(y-y_p)^2=r^2$
$x^2 - 2x x_P + x_P^2 + y^2 - 2yy_P + y_P^2 = r^2$
$2yy_P - y^2 = x^2 - 2x x_P + x_P^2 + y_P^2 - r^2$
$y(2y_P-y=)= x^2 - 2x x_P + x_P^2 + y_P^2 - r^2$
Non vado avanti AIUTO!!! Grazie in anticipo!
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Admin
limiti
Non essendo la circonferenza una funzione, al mio livello, non è possibile eseguire il limite per raggio che tende all'infinito, quindi il mio prof mi ha consigliato di esprimere l'equazione della circonferenza esplicitando la y e quindi analizzare prima la semicirconferenza "sopra" e poi quella "sotto" al diametro perpendicolare all'asse delle x. Il mio problema è che non riesco a ricavare l'equazione della semicirconferenza e quindi a concludere il problema.
Riporto i calcoli eseguiti fino ad ora (Circonferenza con centro in $(x_P,y_P)$ e raggio $r$)
$(x-x_p)^2+(y-y_p)^2=r^2$
$x^2 - 2x x_P + x_P^2 + y^2 - 2yy_P + y_P^2 = r^2$
$2yy_P - y^2 = x^2 - 2x x_P + x_P^2 + y_P^2 - r^2$
$y(2y_P-y=)= x^2 - 2x x_P + x_P^2 + y_P^2 - r^2$
Non vado avanti AIUTO!!! Grazie in anticipo!
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Admin
limiti
Risposte
Partiamo da $(x-x_P)^2+(y-y_P)^2=r^2$. L'idea è di esplicitare rispetto a $y$, così trovi le due funzioni che descrivono analiticamente la "parte superiore" e "inferiore" (rispetto all'asse $y=0$) della circonferenza. Per farlo, devi risolvere l'equazione della circonferenza rispetto a $y$ (ti viene un'equazione di secondo grado un po' noiosa, ti avverto 
).
).
quello volevo fare io! ma come vedi non riesco ad esplicitare $y$! qualcuno riesce ad aiutarmi??
Ho trovato la soluzione (forse)!!
Sono finalmente riuscito a risolvere il problema!! riporto i calcoli! Presto scriverò un articolo sul mio sito con i calcoli scritti meglio e commentati passaggio per passaggio
Calcoli
se qualcosa è sbagliato o non chiaro sono qui!
Calcoli
se qualcosa è sbagliato o non chiaro sono qui!
Non ho ben capito cosa tu stia facendo. A parte che nel titolo parli di sfera e non so perché, potresti spiegare il tuo problema? Cosa intendi per "l'inversione diventa una simmetria"?
L'unica cosa sensata che mi viene in mente è questa: se fissiamo un punto P ed un suo intorno U, e consideriamo l'insieme delle crf che passano per lui e che hanno centro su una retta r che lo contiene, allora per ogni epsilon ce ne sarà una tale che l'inversione rispetto a lei manda i punti di U in punti che non distano più di epsilon dalle immagini che avrebbero gli stessi mediante una simmetria di asse la perpendicolare ad r per P E' così?.
L'unica cosa sensata che mi viene in mente è questa: se fissiamo un punto P ed un suo intorno U, e consideriamo l'insieme delle crf che passano per lui e che hanno centro su una retta r che lo contiene, allora per ogni epsilon ce ne sarà una tale che l'inversione rispetto a lei manda i punti di U in punti che non distano più di epsilon dalle immagini che avrebbero gli stessi mediante una simmetria di asse la perpendicolare ad r per P E' così?.
No no no non ci siamo proprio! Allora: mi scuso se da qualche parte ho usato il termine sfera al posto del termine circonferenza! il mio intento è un altro:
1)si prenda una circonferenza di centro $O$ e raggio $r$
2)Si consideri un punto P di coordinate $x_P,y_P$ e se ne trovi l'inverso rispetto alla circonferenza sopracitata (P')
3)Si consideri una qualunque tangente alla circonferenza nel punto generico $A$
4)Si trovi il simmetrico del punto P rispetto a quella tangente (P'')
5)Voglio dimostrare che se tengo fermo il punto A e aumento il raggio della circonferenza fino a $+\infty$ la circonferenza diventa una retta e quindi P'=P''
Chiaro??
1)si prenda una circonferenza di centro $O$ e raggio $r$
2)Si consideri un punto P di coordinate $x_P,y_P$ e se ne trovi l'inverso rispetto alla circonferenza sopracitata (P')
3)Si consideri una qualunque tangente alla circonferenza nel punto generico $A$
4)Si trovi il simmetrico del punto P rispetto a quella tangente (P'')
5)Voglio dimostrare che se tengo fermo il punto A e aumento il raggio della circonferenza fino a $+\infty$ la circonferenza diventa una retta e quindi P'=P''
Chiaro??
Era esattamente quello che avevo capito. Solo che l'ho scritto in modo rigoroso, e forse è questo che ha generato incomprensioni. La definizione di limite, non si sa perché, viene in genere compresa poco da parte di molti studenti. Ammetto comunque che non ho messo indicazioni su come trovare la crf che "approssima" la tangente, quindi è bene che mi spieghi meglio.
Anzitutto osserva che "tenere fermo il punto A" ed aumentare il raggio è una operazione che non lascia invariata la tangente in A. Ad esempio io posso prendere una successione di circonferenze passanti per A, con raggio sempre più grande, ma scegliendo a caso il centro. E' chiaro che la tangente in A si muove ogni volta che prendo una nuova circonferenza, a meno che i centri non siano tutti sulla perpendicolare alla tangente (fissata una volta per tutte) passante per A .
Quindi, devi scegliere una retta r per A, e poi far tendere all'infinito il centro della circonferenza, ma facendolo restare sulla retta per A perpendicolare a r: così la tangente sarà sempre r
Poi, come esercizio, prova a formalizzare il punto 5. Mettere il raggio uguale a +inf non ha senso, perché esso non è un numero. Nè il punto P' coinciderà mai con P''. Però, per ogni epsilon esiste M tale che se il raggio è maggiore di M, P' e P'' distano meno di epsilon. Certo, tale raggio M dipende da epsilon ma anche da P, ed è per quello che io lavoravo in un intorno di P.
Poi devi anche fissare un semipiano su cui lavorare, perché in quelle ipotesi un raggio individua due crf, insomma ci sono un po' di cose da mettere a posto.
Spero che adesso sia chiaro lo spirito del mio intervento!
Anzitutto osserva che "tenere fermo il punto A" ed aumentare il raggio è una operazione che non lascia invariata la tangente in A. Ad esempio io posso prendere una successione di circonferenze passanti per A, con raggio sempre più grande, ma scegliendo a caso il centro. E' chiaro che la tangente in A si muove ogni volta che prendo una nuova circonferenza, a meno che i centri non siano tutti sulla perpendicolare alla tangente (fissata una volta per tutte) passante per A .
Quindi, devi scegliere una retta r per A, e poi far tendere all'infinito il centro della circonferenza, ma facendolo restare sulla retta per A perpendicolare a r: così la tangente sarà sempre r
Poi, come esercizio, prova a formalizzare il punto 5. Mettere il raggio uguale a +inf non ha senso, perché esso non è un numero. Nè il punto P' coinciderà mai con P''. Però, per ogni epsilon esiste M tale che se il raggio è maggiore di M, P' e P'' distano meno di epsilon. Certo, tale raggio M dipende da epsilon ma anche da P, ed è per quello che io lavoravo in un intorno di P.
Poi devi anche fissare un semipiano su cui lavorare, perché in quelle ipotesi un raggio individua due crf, insomma ci sono un po' di cose da mettere a posto.
Spero che adesso sia chiaro lo spirito del mio intervento!
Sono arrivato più o meno alle stesse conclusioni oggi a scuola! Ho deciso comunque di procedere in modo "diverso": tengo fermo un punto sulla circonferenza e porto il raggio a $+\infty$, comunque so benissimo che non ha senso, infatti userò sempre limiti, per ora ho tantissime idee in mente e più ci penso e più mi vengono idee da formalizzare. Ricordo comunque che io intendo lavorare solo con una circonferenza!
Oggi mi è venuto in mente anche il discorso degli intorni... ma devo ancora pensare bene!! Ora formalizzerò per bene con LaTeX e poi metto su internet così ne discutiamo!
Grazie $1000$ per le dritte
Oggi mi è venuto in mente anche il discorso degli intorni... ma devo ancora pensare bene!! Ora formalizzerò per bene con LaTeX e poi metto su internet così ne discutiamo!
Grazie $1000$ per le dritte
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