Limite per N tendente a infinito
Ciao. Questa volta mi trovo davanti il seguente limite:
[tex]$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+2n-1}-\sqrt{n^2+1}$[/tex]
Ho una forma indeterminata del tipo [tex]$\infty - \infty$[/tex]
Ho provato a moltiplicare numeratore e denominatore per [tex]$\sqrt{n^2+2n-1}+\sqrt{n^2+1}$[/tex], per eliminare le radici quadrate al numeratore, ma non ho concluso nulla di buono. Infatti:
[tex]$\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+2n-1}-\sqrt{n^2+1})(\sqrt{n^2+2n-1}+\sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n^2+2n-1}+\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-2}{\sqrt{n^2+2n-1}+\sqrt{n^2+1}}$[/tex]
In tal modo ho una forma indeterminata del tipo [tex]$\frac{\infty}{\infty}$[/tex] e forse ho anche peggiorato la situazione. Come potrei eliminare l'indeterminazione di questo limite? Grazie!
[tex]$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+2n-1}-\sqrt{n^2+1}$[/tex]
Ho una forma indeterminata del tipo [tex]$\infty - \infty$[/tex]
Ho provato a moltiplicare numeratore e denominatore per [tex]$\sqrt{n^2+2n-1}+\sqrt{n^2+1}$[/tex], per eliminare le radici quadrate al numeratore, ma non ho concluso nulla di buono. Infatti:
[tex]$\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+2n-1}-\sqrt{n^2+1})(\sqrt{n^2+2n-1}+\sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n^2+2n-1}+\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-2}{\sqrt{n^2+2n-1}+\sqrt{n^2+1}}$[/tex]
In tal modo ho una forma indeterminata del tipo [tex]$\frac{\infty}{\infty}$[/tex] e forse ho anche peggiorato la situazione. Come potrei eliminare l'indeterminazione di questo limite? Grazie!
Risposte
All'interno di ciascun radicale al denominatore puoi mettere in evidenza [tex]n^2[/tex]: porti fuori radice senza problemi di valore assoluto perché [tex]n\rightarrow +\infty[/tex] (e fra l'altro è un numero naturale, salvo avviso contrario!), quindi...
Grazie per la risposta! Sì, [tex]$n>0$[/tex].
[tex]$\lim_{n \to \infty} \frac{n(2-\frac{2}{n})}{n\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1$[/tex]
[tex]$\lim_{n \to \infty} \frac{n(2-\frac{2}{n})}{n\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1$[/tex]
Non esattamente!
Basta qualche altra manipolazione algebrica. Il limite che hai scritto può essere scritto in forma equivalente come segue:
[tex]\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n(1-\frac{1}{n})}{n\Big(\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\Big)}[/tex]
Osserva adesso che [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\Big(1-\frac{1}{n}\Big)=1[/tex] e che al denominatore riesce: [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}=1[/tex] e pure [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1[/tex] . A questo punto semplificando la [tex]n[/tex] raccolta al numeratore con quella raccolta al denominatore dovresti poter concludere!
Basta qualche altra manipolazione algebrica. Il limite che hai scritto può essere scritto in forma equivalente come segue:
[tex]\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n(1-\frac{1}{n})}{n\Big(\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\Big)}[/tex]
Osserva adesso che [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\Big(1-\frac{1}{n}\Big)=1[/tex] e che al denominatore riesce: [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}=1[/tex] e pure [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1[/tex] . A questo punto semplificando la [tex]n[/tex] raccolta al numeratore con quella raccolta al denominatore dovresti poter concludere!
Avevo solo sbagliato a scrivere il risultato, perché non mi sembra ci vogliano ulteriori manipolazioni. Infatti sia il numeratore che il denominatore convergono a 2, quindi il limite totale per N che tende a infinito converge a 1. Grazie ancora per l'aiuto che mi hai dato!
"SyncZ":
Avevo solo sbagliato a scrivere il risultato, perché non mi sembra ci vogliano ulteriori manipolazioni. Infatti sia il numeratore che il denominatore convergono a 2, quindi il limite totale per N che tende a infinito converge a 1. Grazie ancora per l'aiuto che mi hai dato!
Infatti si concludeva bene anche da dove sei arrivato tu.
Non mi ero accorto del secondo passaggio di SyncZ... ovviamente potevi concludere già da lì! Dato che parlavi di forma indeterminata credevo non fossi arrivato a semplificare [tex]n[/tex] al numeratore e al denominatore e distrattamente mi sono mangiato un passaggio!
Alla prossima!
Alla prossima!
Un'ultimo favore, per piacere... 
Devo dimostrare che la successione [tex]$y_n = \tan \left ( \frac{\pi}{3n} \right )$[/tex], con [tex]$n \in \mathbb{N}^{+}$[/tex] è di Cauchy.
Una successione è di Cauchy se la distanza tra due termini della successione è minore di un arbitrario valore positivo, cioè se [tex]$|y_n-y_m|<\epsilon$[/tex], [tex]$\forall n, m \in \mathbb{N}^{+}$[/tex] con [tex]$\epsilon \in \mathbb{R}^{+}$[/tex]. Tale definizione coincide con quella di successione convergente, perciò basterebbe dimostrare che una successione converge per poterla chiamare successione di Cauchy. Ovviamente mi devono complicare la vita, perciò devo dimostrare ciò scrivendo:
[tex]$\left | \tan \left ( \frac{\pi}{3n} \right )-\tan \left ( \frac{\pi}{3m} \right ) \right |<\epsilon$[/tex]
Adesso come continuo?
Devo dimostrare che la successione [tex]$y_n = \tan \left ( \frac{\pi}{3n} \right )$[/tex], con [tex]$n \in \mathbb{N}^{+}$[/tex] è di Cauchy.Una successione è di Cauchy se la distanza tra due termini della successione è minore di un arbitrario valore positivo, cioè se [tex]$|y_n-y_m|<\epsilon$[/tex], [tex]$\forall n, m \in \mathbb{N}^{+}$[/tex] con [tex]$\epsilon \in \mathbb{R}^{+}$[/tex]. Tale definizione coincide con quella di successione convergente, perciò basterebbe dimostrare che una successione converge per poterla chiamare successione di Cauchy. Ovviamente mi devono complicare la vita, perciò devo dimostrare ciò scrivendo:
[tex]$\left | \tan \left ( \frac{\pi}{3n} \right )-\tan \left ( \frac{\pi}{3m} \right ) \right |<\epsilon$[/tex]
Adesso come continuo?
Ma no... Sei d'accordo che, per [tex]$y_n \in \mathbb{R}$[/tex] con la solita distanza euclidea, si ha [tex]$\lim_{n \to \infty } y_n = 0$[/tex] ?
Non ti serve altro...
Non ti serve altro...
"Seneca":
Ma no... Sei d'accordo che, per [tex]$y_n \in \mathbb{R}$[/tex] con la solita distanza euclidea, si ha [tex]$\lim_{n \to \infty } y_n = 0$[/tex] ?
Non ti serve altro...
Sì, certo! Però, devo dimostrarlo in un altro modo. Nei miei appunti ho scritto dei passaggi che fanno venire il mal di testa! Ho chiesto su questo forum per cercar di comprendere meglio la dimostrazione che cerco.
Ecco i passaggi nei miei appunti (che difficilmente riuscirei a riscrivere senza averli sotto mano) [
]:[tex]$\left | \tan \left ( \frac{\pi}{3n} \right ) - \tan \left ( \frac{\pi}{3m} \right ) \right | < \epsilon$[/tex]
Dalla formula [tex]$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+ \tan \alpha \tan \beta}$[/tex] segue [tex]$\left | \left [ 1+ \tan \left ( \frac{\pi}{3n} \right )\tan \left ( \frac{\pi}{3m} \right ) \right ] \tan \left ( \frac{\pi}{3n}-\frac{\pi}{3m} \right ) \right | < \epsilon $[/tex]
Poiché [tex]$\tan \left ( \frac{\pi}{3n} \right ) \leq \sqrt{3}$[/tex], è sufficiente che [tex]$ \left | \tan \left ( \frac{\pi}{3n}-\frac{\pi}{3m} \right ) \right | < \frac{\epsilon}{4}$[/tex], da cui [tex]$ \left | \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right | < \frac{3}{\pi}\arctan \frac{\epsilon}{4}$[/tex]
Essendo [tex]$ \left | \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right | < \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \leq \frac{2}{min (n, m)}$[/tex], la tesi è provata ponendo [tex]$\nu= \left [ \frac{2\pi}{3\arctan \frac{\epsilon}{4}} \right ]$[/tex]
D'accordo. Qual è il punto che non capisci?
Direi piuttosto che non lo capisco affatto. Se mi fosse assegnata la dimostrazione di un'altra successione, non saprei che direzione prendere. Non basterebbe, appunto, dimostrare che la successione converge ad un valore finito?
Innanzitutto, non capisco il motivo dell'utilizzo della formula della differenza di due angoli per la tangente e come essa è stata applicata. Ho due successioni, non due angoli... Se avessi al posto della tangente ad esempio il coseno, dovrei utilizzare la formula corrispondente?
Innanzitutto, non capisco il motivo dell'utilizzo della formula della differenza di due angoli per la tangente e come essa è stata applicata. Ho due successioni, non due angoli... Se avessi al posto della tangente ad esempio il coseno, dovrei utilizzare la formula corrispondente?
"SyncZ":
Direi piuttosto che non lo capisco affatto. Se mi fosse assegnata la dimostrazione di un'altra successione, non saprei che direzione prendere. Non basterebbe, appunto, dimostrare che la successione converge ad un valore finito?
Innanzitutto, non capisco il motivo dell'utilizzo della formula della differenza di due angoli per la tangente e come essa è stata applicata. Ho due successioni, non due angoli... Se avessi al posto della tangente ad esempio il coseno, dovrei utilizzare la formula corrispondente?
Il motivo è che, per trovare [tex]$\nu$[/tex], fissato che sia [tex]$\epsilon$[/tex], hai bisogno di far sparire quella differenza di tangenti. Per farlo viene comoda quella formula goniometrica... Fosse stato il coseno oppure il seno forse saresti dovuto ricorrere a Werner (o prostaferesi, non ricordo quale delle due ti dia un prodotto da una differenza).
Hai mai fatto quelle noiose verifiche di limiti a partire dalla definizione? E' un po' la stessa cosa...
Comunque, poiché lavori in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con la classica distanza euclidea, sai che una successione è convergente se e solo se è di Cauchy. Quindi quella verifica complicata te la potevi risparmiare (come avevo già scritto).
Concordo con Seneca.
In sostanza tutti quei conti non sono altro che la verifica della definizione di successione di Cauchy. L'ossatura di base è quella e forse i conti ti hanno gettato un po' di fumo negli occhi.
Hai presente la definizione di cui parlo? Non vorrei che il problema sia proprio lì...
In sostanza tutti quei conti non sono altro che la verifica della definizione di successione di Cauchy. L'ossatura di base è quella e forse i conti ti hanno gettato un po' di fumo negli occhi.
Hai presente la definizione di cui parlo? Non vorrei che il problema sia proprio lì...
"Andrea90":
Hai presente la definizione di cui parlo? Non vorrei che il problema sia proprio lì...
Sì, certamente! L'avevo scitta nei post precedenti: una successione è di Caushy se esistono due termini della successione la cui distanza (differenza) è più piccola di un qualsiasi valore positivo epsilon.
"Seneca":
Il motivo è che, per trovare [tex]$\nu$[/tex], fissato che sia [tex]$\epsilon$[/tex], hai bisogno di far sparire quella differenza di tangenti. Per farlo viene comoda quella formula goniometrica... Fosse stato il coseno oppure il seno forse saresti dovuto ricorrere a Werner (o prostaferesi, non ricordo quale delle due ti dia un prodotto da una differenza).
Grazie!
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