Limite notevole e derivate
Salve a tutti. Per non spezzettare le mie domande in più topic ho preferito farne un unico in modo da avere le risposte tutte qui e non creare casini al forum. 
Inizio subito.. Mi sto ritrovando in difficoltà con questi 3 argomenti che sono:
- Limiti Notevoli (sopratutto facendo un esercizio che non so come svolgere.)
- Derivate (non tanto le classiche derivate ma quelle a cui si arriva partendo dal limite del rapporto incrementale.)
Inizio con la prima..
$lim_(x->-1)((x^2+x+1)/(3x^2-2x-4))^((5x+2)/(x+1))$
questa è una forma indeterminate di $n^oo$ bene. Ora quello che il mio prof dice sempre è che dobbiamo ricondurci sempre ad un limite notevole che conosciamo eseguendo determinati passaggi. Ok fin qui. L'unico limite notevole che conosciamo dove si vede un esponenziale è $lim_(h->\pmoo)(1+(1/x))^x=e$
Da qui non ho più capito come ha fatto a crearsi l'$1$ dentro la parentesi aggiungendo semplicemente $(3x^2-2x-4)/(3x^2-2x-4)$ dal nulla. Fatto sta che il risultato è venuto giusto confrontandolo con WolframAlpha ed altri software di calcolo di limiti. Ossia $e^-21$ oppure $1/(e^21)$
Passando ora alle derivate. In linea di massima per le derivate non ho molti problemi che comunque non si possano risolvere con una buona esercitazione ma trovo alquanto dispendioso fare le derivate utilizzando i limiti del rapporto incrementale. Ormai mi sono convinto di ciò ed il mio cervello si rifiuta quasi.
Comunque so che la formula generale del rapporto incrementale è $lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$ e devo ricondurmi a questa per ottenere la derivata finale. Ma questo all'inizio di tutti gli esercizi può risultare semplice. Ma quando si arriva ad esercizi complessi andare a scrivere tutta la formula con i dovuti dati è complesso (almeno per me lo diventa). Come potrei procedere per semplificarmi la vita ed evitare di sbagliare?
Inizio subito.. Mi sto ritrovando in difficoltà con questi 3 argomenti che sono:
- Limiti Notevoli (sopratutto facendo un esercizio che non so come svolgere.)
- Derivate (non tanto le classiche derivate ma quelle a cui si arriva partendo dal limite del rapporto incrementale.)
Inizio con la prima..
$lim_(x->-1)((x^2+x+1)/(3x^2-2x-4))^((5x+2)/(x+1))$
questa è una forma indeterminate di $n^oo$ bene. Ora quello che il mio prof dice sempre è che dobbiamo ricondurci sempre ad un limite notevole che conosciamo eseguendo determinati passaggi. Ok fin qui. L'unico limite notevole che conosciamo dove si vede un esponenziale è $lim_(h->\pmoo)(1+(1/x))^x=e$
Da qui non ho più capito come ha fatto a crearsi l'$1$ dentro la parentesi aggiungendo semplicemente $(3x^2-2x-4)/(3x^2-2x-4)$ dal nulla. Fatto sta che il risultato è venuto giusto confrontandolo con WolframAlpha ed altri software di calcolo di limiti. Ossia $e^-21$ oppure $1/(e^21)$
Passando ora alle derivate. In linea di massima per le derivate non ho molti problemi che comunque non si possano risolvere con una buona esercitazione ma trovo alquanto dispendioso fare le derivate utilizzando i limiti del rapporto incrementale. Ormai mi sono convinto di ciò ed il mio cervello si rifiuta quasi.
Comunque so che la formula generale del rapporto incrementale è $lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$ e devo ricondurmi a questa per ottenere la derivata finale. Ma questo all'inizio di tutti gli esercizi può risultare semplice. Ma quando si arriva ad esercizi complessi andare a scrivere tutta la formula con i dovuti dati è complesso (almeno per me lo diventa). Come potrei procedere per semplificarmi la vita ed evitare di sbagliare?
Risposte
1. Basta notare che $x^2+x+1 = (3x^2 -2x -4) -2x^2+3x+5$ (ho aggiunto e tolto quello che mi serviva).
2. Le derivate notevoli e le regole di derivazione vanno imparate a memoria, poi non si usa più il rapporto incrementale. Forse il tuo prof te lo fa fare ora perché siete all'inizio dell'argomento.
Paola
2. Le derivate notevoli e le regole di derivazione vanno imparate a memoria, poi non si usa più il rapporto incrementale. Forse il tuo prof te lo fa fare ora perché siete all'inizio dell'argomento.
Paola
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