Limite notevole complicato
Ho questo limite: $lim_(x->infty)(((1+x^2)/(x+x^2))^(2x))$
Non sapevo se fosse meglio spezzare e ricondursi a $lim_(x->infty)(1+1/x)^x=e$, ma non sapendo come ho optato per questa strada: $lim_(x->infty)(e^(2xln((1+x^2)/(x+x^2))))$. Ora mi limito a lavorare sull'esponente.
Ho raccolto dentro il logaritmo il termine $x^2$: $lim_(x->infty)(2xln(x^2/x^2((1+1/x^2)/(1+1/x))))$
Poi semplificando rimane: $lim_(x->infty)(2xln1)$
Da qui ho già capito che ho sbagliato ma non capisco dove, i "passaggi classici" mi sembra di averli fatti correttamente.
Potreste aiutarmi per favore a capire?
Non sapevo se fosse meglio spezzare e ricondursi a $lim_(x->infty)(1+1/x)^x=e$, ma non sapendo come ho optato per questa strada: $lim_(x->infty)(e^(2xln((1+x^2)/(x+x^2))))$. Ora mi limito a lavorare sull'esponente.
Ho raccolto dentro il logaritmo il termine $x^2$: $lim_(x->infty)(2xln(x^2/x^2((1+1/x^2)/(1+1/x))))$
Poi semplificando rimane: $lim_(x->infty)(2xln1)$
Da qui ho già capito che ho sbagliato ma non capisco dove, i "passaggi classici" mi sembra di averli fatti correttamente.
Potreste aiutarmi per favore a capire?
Risposte
No allora questo si fa così.
Anzitutto devi notare che:
$(1+x^2)/(x+x^2)=1+(-x+1)/(x^2+x)=1+1/((x^2+x)/(1-x))$
A questo punto, notando che $ lim_(x->infty)(1/((x^2+x)/(1-x)))=0$
Poi lavori sull'esponente:
$ lim_(x->infty)(((1+x^2)/(x+x^2))^(2x)) =lim_(x->infty)(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^(2x)=lim_(x->infty)(1+1/((x(x+1))/(1-x)))^(2x)=lim_(x->infty)(1+1/((x*(x+1))/(1-x)))^(2*x*(x+1)/(1-x)*(1-x)/(x+1)=$
e poi applichi il limite notevole.
Anzitutto devi notare che:
$(1+x^2)/(x+x^2)=1+(-x+1)/(x^2+x)=1+1/((x^2+x)/(1-x))$
A questo punto, notando che $ lim_(x->infty)(1/((x^2+x)/(1-x)))=0$
Poi lavori sull'esponente:
$ lim_(x->infty)(((1+x^2)/(x+x^2))^(2x)) =lim_(x->infty)(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^(2x)=lim_(x->infty)(1+1/((x(x+1))/(1-x)))^(2x)=lim_(x->infty)(1+1/((x*(x+1))/(1-x)))^(2*x*(x+1)/(1-x)*(1-x)/(x+1)=$
e poi applichi il limite notevole.
Ok, ho capito ma come sarei arrivato da $(1+x^2)/(x+x^2)$ a $1+(-x+1)/(x^2+x)$. Tu come lo hai notato? Eventualmente ci sarebbe potuta essere una via alternativa o questo è l'unico modo per risolverlo?
Due metodi per notarlo: o con la divisione tra polinomi (che ti consiglio caldamente di ripassare) oppure il metodo sommi e sottrai x al numeratore, così:
$ (1+x^2)/(x+x^2)=(1-x+x+x^2)/(x+x^2)=(1-x)/(x+x^2)+1 $
$ (1+x^2)/(x+x^2)=(1-x+x+x^2)/(x+x^2)=(1-x)/(x+x^2)+1 $
Ok, ma tu lo hai notato già pensando di applicare il limite notevole $lim_(x->+infty)(1+1/x)^x=e$, giusto?
A riguardo vorrei chiederti una cosa: se nel limite notevole scritto sopra invece di avre $+infty$ avessi $-infty$, come dovrei comportarmi?
A riguardo vorrei chiederti una cosa: se nel limite notevole scritto sopra invece di avre $+infty$ avessi $-infty$, come dovrei comportarmi?
E' la stessa cosa perché nel limite notevole non è specificato il segno di $infty$.
Ah, ok, quindi prima hai semplificato quella frazione in vista di applicare il limite notevole?
Certo. Il target è applicare il limite notevole naturalmente, essendo l'esercizio sui limiti notevoli.
Perfetto, grazie tantissime per l'aiuto e i suggerimenti!
Ciao!
Scusami se riprendo il thread ma mi è sorto un dubbio.
In questo passaggio: $lim_(x->infty)(1+1/(x*(x+1)/(1-x)))^(2x)$
Se io non avessi raccolto la $x$ al denominatore il limite mi verrebbe $e^(2x)=+infty$, non capisco perchè. Magari è un altro errore di calcolo.
In questo passaggio: $lim_(x->infty)(1+1/(x*(x+1)/(1-x)))^(2x)$
Se io non avessi raccolto la $x$ al denominatore il limite mi verrebbe $e^(2x)=+infty$, non capisco perchè. Magari è un altro errore di calcolo.
Potevi anche fare a meno di raccogliere in effetti.
Arrivato a questo punto:
$ lim_(x->infty)(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^(2x)=$
procedevi con lo stesso metodo:
$ lim_(x->infty)(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^((2x)*(x^2+x)/(1-x) *(1-x)/(x^2+x))=lim_(x->infty)(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^((x^2+x)/(1-x) *2*x*(1-x)/(x^2+x))=lim_(x->infty){[(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^((x^2+x)/(1-x))]^(2*x*(1-x)/(x^2+x))}=lim_(x->infty)[e^(2*x*(1-x)/(x^2+x))]=e^[[lim_(x->infty)(2x*(1-x)/(x^2+x))]]=1/e^2$
Arrivato a questo punto:
$ lim_(x->infty)(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^(2x)=$
procedevi con lo stesso metodo:
$ lim_(x->infty)(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^((2x)*(x^2+x)/(1-x) *(1-x)/(x^2+x))=lim_(x->infty)(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^((x^2+x)/(1-x) *2*x*(1-x)/(x^2+x))=lim_(x->infty){[(1+1/((x^2+x)/(1-x)))^((x^2+x)/(1-x))]^(2*x*(1-x)/(x^2+x))}=lim_(x->infty)[e^(2*x*(1-x)/(x^2+x))]=e^[[lim_(x->infty)(2x*(1-x)/(x^2+x))]]=1/e^2$
Ah ok, alla fine bisogna togliere l'indeterminazione all'esponente di e, vero?
Si. Devi applicare le proprietà dell'algebra dei limiti.
Perfetto, grazie mille!
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