Limite notevole

[snooze89]

Salve a tutti.

Non riesco a fare il seguente limite notevole... Potreste spiegarmi come si fa?

$lim_(x->0^+)(sqrt(1-cos x)/x)$


Grazie mille!

[@melia]

Moltiplicando numeratore e denominatore per (sqrt(1+cos x)$ ottieni

$lim_(x->0^+) sqrt(1-cos^2 x)/(x*(sqrt(1+cos x)))=lim_(x->0^+) sqrt(sin^2 x)/(x*(sqrt(1+cos x)))=$, e poiché $x->0^+$ e quindi $sin x$ è positivo, lo puoi portare fuori dalla radice senza valore assoluto, per cui il limite diventa $lim_(x->0^+)(sin x)/x*1/(sqrt(1+cos x))=1*1/sqrt2=1/sqrt2=sqrt2/2$

[snooze89]

Ah ok, ho capito.. Io sono un deficiente, credevo che

$sqrt(1-cos x) * sqrt(1+cos x)$ non facesse $sqrt(1-cos^2x$

Comunque ti sei dimenticato la $sqrt 2$ Viene $sqrt 2/2$


Grazie mille davvero, ho risolto finalmente uno stupido dubbio!!

[@melia]

Vero, mi sono dimenticata la radice, adesso correggo.

[franced]

"Ruci":
$lim_(x->0^+)(sqrt(1-cos x)/x)$

Portando la $x$ dentro la radice ed osservando che $x>0$,
si ottiene:

$lim_(x->0^+)(sqrt(1-cos x)/x) = lim_(x->0^+) (sqrt((1-cos x)/x^2))$

ora, ricordando il limite notevole

$lim_(x->0) (1-cos x)/x^2 = 1/2$

possiamo scrivere

$lim_(x->0^+)(sqrt((1-cos x)/x^2)) = sqrt(1/2) = \sqrt(2)/2$ .

[Steven11]

Ciao!

Il primo mi sembra tenda a $+\infty$.
Infatti
$(10^(x^3-x)-1)/(x^3-x)$ tende ad un valore finito (direi $ln10$), idem $x^2/(sin^2x)$.
Mentre $(x^3-x)/x^2$, cioè $(x^2-1)/x$ tende a $+infty$ poiché il numeratore va a $-1$ e il denominatore a $0$ dai negativi.
Rapporto di due negativi...

Il secondo è ok anche se le parentesi, nel penultimo passaggio, sono messe male.

Il terzo è ok.

Il quarto non va.
La prima frazione va a $1$.
La seconda, cioè $(lnx)/(sqrtx)$ va a $-infty$
A te il compito di verificare.