Limite notevole
Ho questo limite: $lim_(x->0)((e^(sin4x)-1)/(ln(1+tgx)))$
Ho proceduto in questo modo: $lim_(x->0)((((e^(sin4x)-1)*sin4x)/(sin4x))/((ln(1+tgx)*tgx)/(tgx)))$
Ottengo: $lim_(x->0)((sin4x)/(tgx))$ e da qui semplifico $lim_(x->0)(4sinxcosxcos2x)/(sinx/cosx)$.
Ora ottengo: $lim_(x->0)(4cos^2xcos2x)$ e ottengo $4$.
Il risultato è corretto, ma ho sempre la sensazione di arrivarci con un procedimento banale, poco furbo. Sapreste dirmi se si poteva manipolare in altro modo, senza usare le equivalenze asintotiche, magari applicando diversamente i limiti notevoli.
Ho proceduto in questo modo: $lim_(x->0)((((e^(sin4x)-1)*sin4x)/(sin4x))/((ln(1+tgx)*tgx)/(tgx)))$
Ottengo: $lim_(x->0)((sin4x)/(tgx))$ e da qui semplifico $lim_(x->0)(4sinxcosxcos2x)/(sinx/cosx)$.
Ora ottengo: $lim_(x->0)(4cos^2xcos2x)$ e ottengo $4$.
Il risultato è corretto, ma ho sempre la sensazione di arrivarci con un procedimento banale, poco furbo. Sapreste dirmi se si poteva manipolare in altro modo, senza usare le equivalenze asintotiche, magari applicando diversamente i limiti notevoli.
Risposte
In realtà quando dici "ottengo questo limite" stai implicitamente usando le equivalente asintotiche per dire che $(e^sin(4x)-1)/sin(4x)->1$ per $x->0$ ed è per questo che il risultato ti viene giusto ma dovresti giustificare rigorosamente questo passaggio, non puoi risolvere i limiti "a pezzi".
E no, non credo esista un modo più furbo per farlo coi limiti notevoli che sono tutto tranne che un metodo veloce. Se conosci le equivalenze asintotiche perché non usarle? A quanto ho capito stai studiando queste cose da solo quindi il fatto che il libro non le preveda non mi pare una motivazione forte in questo caso...
E no, non credo esista un modo più furbo per farlo coi limiti notevoli che sono tutto tranne che un metodo veloce. Se conosci le equivalenze asintotiche perché non usarle? A quanto ho capito stai studiando queste cose da solo quindi il fatto che il libro non le preveda non mi pare una motivazione forte in questo caso...
Avrei fatto direttamente così
$lim_(x->0)((((e^(sin4x)-1)*sin4x)/(sin4x))/((ln(1+tgx)*tgx)/(tgx)))=lim_(x->0)((((e^(sin4x)-1)/(sin4x)*(sin4x)/(4x)*4x))/((ln(1+tgx)/(tgx)*sinx/x*x/cosx)))=4$
$lim_(x->0)((((e^(sin4x)-1)*sin4x)/(sin4x))/((ln(1+tgx)*tgx)/(tgx)))=lim_(x->0)((((e^(sin4x)-1)/(sin4x)*(sin4x)/(4x)*4x))/((ln(1+tgx)/(tgx)*sinx/x*x/cosx)))=4$
@ melia: comunque al passaggio $ lim_(x->0)((((e^(sin4x)-1)*sin4x)/(sin4x))/((ln(1+tgx)*tgx)/(tgx)))$ bisognava arrivarci per forza, mi è piaciuta la tua versione!
@ Obidream: vedi, le equivalenze asintotiche le conosco, ma non le ho capite a fondo, per questo preferisco usare i limiti notevoli nudi e crudi e abituarmi a fare le manipolazioni più rudi prima di passare alla versione soft. Come vedi, ancora non ho buona dimestichezza con questi, se non mi piacesse capire bene le cose, applicherei solo l'Hopital.
@ Obidream: vedi, le equivalenze asintotiche le conosco, ma non le ho capite a fondo, per questo preferisco usare i limiti notevoli nudi e crudi e abituarmi a fare le manipolazioni più rudi prima di passare alla versione soft. Come vedi, ancora non ho buona dimestichezza con questi, se non mi piacesse capire bene le cose, applicherei solo l'Hopital.
"ZfreS":
applicherei solo l'Hopital.
Beh, per chi è pigro, è la scelta migliore! Ma non è il mio caso.
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