Limite notevole?

[gcappellotto47]

Salve
sto tentando di calcolare questo limite
$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{x}{2x^2+1})^x$

sostituzione:

$y=2x^2+1$

$\lim_{y \to \infty} (1+\frac{\sqrt{\frac{y+1}{2}}}{y})^{\sqrt{\frac{y+1}{2}}$

ma non mi sembra il metodo adeguato...
Grazie per i vostri consigli e saluti.
Giovanni C.

[minomic]

Ciao,
anche senza sostituzioni puoi riscrivere il limite come segue:
\[
\left\{\underbrace{\left[\left(1+\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}\right)^{2x+\frac{1}{x}}\right]}_{\huge \text{tende a } e}\cdot\underbrace{\left(1+\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}\right)^{-\frac{1}{x}}}_{\huge \text{tende a } 1}\right\}^{\frac{1}{2}}
\] Quindi il risultato è $e^(1/2)$.

[gcappellotto47]

Grazie, bella soluzione. Questi "trucchi" si imparano solo con la pratica, oppure esistono dei metodi generali che possono almeno orientare verso la soluzione?

Grazie ancora.

[minomic]

Diciamo che c'è un metodo generale di base; poi ogni volta lo devi un po' adattare.
Sfruttiamo il limite notevole
\[
\lim_{x\to +\infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} = e
\] Quindi quello che ho cercato di fare è avere
\[
\left(1+\frac{1}{\text{qualcosa}}\right)^{\text{qualcosa}}
\] Dopodiché ho "aggiustato" la funzione con le proprietà delle potenze per ritornare alla situazione iniziale.