Limite misto

[cavarzeran]

$ lim_(x -> 0) (sen(2x))/(e^tanx -1 $

Ho provato a scomporlo in vari modi, tra cui:

$ lim_(x -> 0) (2senxcosx)/(e^((senx)/cosx) -1) = lim_(x -> 0) 2((senx)/(e^((senx)/cosx)-1)+ (cosx)/((e^((senx)/cosx)-1))) $

Ma non trovo una forma che possa ricondurmi ai limiti fondamentali.
Ho provato anche De L'Hôpital, ma ho avuto problemi anche con questa tecnica.

Qualche indizio?
Grazie!

[axpgn]

Il denominatore "porta" ad un limite notevole ...

[cavarzeran]

Aggiornamento:

Continuando a scomporre e moltiplicando tutto per $ x/x $, sono arrivato credo molto vicino alla fine:

$ 2lim_(x -> 0) (x)/(e^tanx - 1) \cdot (senx)/(x) \cdot cosx $

Mentre il secondo e il terzo termine tendono entrambi ad 1, ho dei dubbi riguardo al primo.
Sembrerebbe ricondursi al limite notevole

$ lim_(x -> 0) (e^x -1)/(x) = 1 $

e quindi:

$ lim_(x -> 0) (x)/(e^x - 1) = 1^-1 = 1 $

Ma questo limite è valido anche se al posto di $ x $ ho $ tanx $ ?
Immagino dovrei arrivare alla forma

$ lim_(x -> 0) (tanx)/(e^tanx - 1) = 1^-1 = 1 $

affinchè l'uguaglianza possa ritenersi corretta.

[axpgn]

Ho detto che il denominatore porta ad un limite notevole, questo: $lim_(f(x)->0) (e^(f(x))-1)/(f(x)) =1$

[cavarzeran]

Moltiplicando tutto per $ tanx / tanx $, tutti i termini tendono a $ 1 $, tranne $ 1/tanx $, cioè $ ctgx $.
La cotangente di 0 non esiste: come si procede in questi casi? Si elimina del tutto il fattore?
Eliminandolo otterrei $ 2 $, che è effettivamente la soluzione del limite.

[Sascia63]

$ 2lim_(x -> 0) (tanx)/(e^tanx - 1) \cdot (sinx)/(tanx) \cdot cosx = 2lim_(x -> 0) (tanx)/(e^tanx - 1) \cdot sinx*cosx/sinx \cdot cosx = 2lim_(x -> 0) (tanx)/(e^tanx - 1) \cdot cos^2x = 2$