Limite irrazionale

[gcappellotto]

Salve a tutti
devo calcolare il limite della seguente funzione (anche se ce ne fossero le condizioni, NON applicando l'Hopital):
$\lim_{x \to \infty} \frac{x-1-\sqrt{4+x^2}}{\sqrt(x)-\sqrt(x+3)}$
Ho raccolto $x$ al numeratore:
$x*[(1-\frac{1}{x})-\sqrt { \frac{4}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}]]$
il numeratore (se non sbaglio) tende a $0$
anche il denominatore $\sqrt(x)-\sqrt(x+3)$ tende a $0$
Quindi si tratta di un limite di forma indeterminata $\frac{0}{0}$
ho provato a razionalizzare il denominatore e ho ottenuto:
$\frac{[x-1-\sqrt(4+x^2)]*[\sqrt(x)+\sqrt(x+3)]}{x-x-3}=\frac{[x-1-\sqrt(4+x^2)]*[\sqrt(x)+\sqrt(x+3)]}{-3}=..$
ma a questo punto non riesco a procedere, anche provando a svolgere i calcoli al numeratore.
Cortesemente, mi potreste dare qualche consiglio ?
Grazie e saluti.
Giovanni C.

[chiaraotta1]

Io risolverei così ....
Da
$(x - 1 - sqrt(4 + x^2))/(sqrt(x) - sqrt(x + 3))$
moltiplicando numeratore e denominatore per
$(x - 1 + sqrt(4 + x^2))*(sqrt(x) + sqrt(x + 3))$
ottieni
$((x-1-sqrt(4+x^2))*(x-1+sqrt(4+x^2))*(sqrt(x) + sqrt(x + 3)))/((sqrt(x)-sqrt(x+3))*(sqrt(x) + sqrt(x + 3))*(x-1+sqrt(4+x^2)))$
che semplificando diventa
$(sqrt(x + 3) + sqrt(x))·(2·x + 3)/(3·(sqrt(x^2 + 4) + x - 1))$.
Se dividi nuovamente numeratore e denominatore della frazione per $x$, che è $>0$ perché la funzione è definita solo per $x>=0$ e il limite è per $x->+oo$, ottieni
$(sqrt(x + 3) + sqrt(x))·(2 + 3/x)/(3·(sqrt(1 + 4/x^2) + 1 - 1/x))$.
Se ora calcoli il limite per $x->+oo$, il fattore $(2 + 3/x)/(3·(sqrt(1 + 4/x^2) + 1 - 1/x))$ tende a $1/3$ e $(sqrt(x + 3) + sqrt(x))$ a $+oo$.
Quindi la funzione tende a $+oo$.

[gcappellotto]

Ancora grazie.