Limite in forma indeterminata

[gabriello47]

Si chiede di risolvere il seguente limite:

$lim_(x to infty) ((log(3x))/(log(x)))^(log(x))$.

se non sbaglio è della forma indeterminata $1^infty$. Utilizzando la funzione $ e$ si arriva a dover risolvere il $lim_ (x to infty)(log(x)* log(log(3x)/logx))=3log (x)$ con il risultato da porre ad esponente di $ e$. Si otterrebbe $lim_ (x_to infty)(x^3)$ cioè $infty$. Invece il risultato è $3$. Come ci si arriva?
Grazie

[minomic]

Ciao,
puoi riscrivere la funzione come segue:
\[
\left(1+\frac{\log 3x-\log x}{\log x}\right)^{\log x}
\]
A questo punto al numeratore puoi applicare le proprietà dei logaritmi. Concludi che il risultato del limite è
\[
e^{\log 3} = 3
\]

[gabriello47]

Dopo aver postato m'è venuta in mente una soluzione. Posto $t=logx$ e applicando una proprietà dei logaritmi:
$lim_(x to infty)(log(3x)/log(x))^log(x) =lim_(t to infty)(1+log3/t)^t =e^log3=3$, utilizzando un noto limite notevole.