Limite forma indeterminata infinito - infinito

[mark930]

Salve, ho questo esercizio:

[math]\lim_{x \rightarrow \infty }(x- \sqrt{x^2+8x+5} )[/math]

Questo limite è della forma indeterminata

[math]\infty - \infty [/math]

Il libro come passaggio guidato fa così:

[math]\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{x^2-(x^2+8x+5)}{x+ \sqrt{x^2+8x+5} } [/math]

Come fa ad arrivare al secondo passaggio?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ha razionalizzato. In sostanza, ricordando che

[math](a - b)(a + b) = a^2 - b^2[/math]

per
debellare quella fastidiosa forma indeterminata conviene procedere come segue:

[math]
\begin{aligned}
& \dots \lim_{x \to +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 8x + 5}\right) \\
& = \lim_{x \to +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 8x + 5}\right) \frac{x + \sqrt{x^2 + 8x + 5}}{x + \sqrt{x^2 + 8x + 5}} \\
& = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - \left(x^2 + 8x + 5\right)}{x+\sqrt{x^2\left(1 + \frac{8}{x} + \frac{5}{x^2}\right)}} \\
& = \lim_{x \to +\infty} -\frac{8x + 5}{x+|x|} \\
& = \lim_{x \to +\infty} -\frac{8x\left(1 + \frac{5}{8x}\right)}{2x} \\
& = \lim_{x \to +\infty} -4 \\
& = -4 \; .
\end{aligned}\\
[/math]

Chiaro? :)

[mark930]

ok, ho capito la razionalizzazione. Ma come fa il denominatore a diventare da:

[math]x+\sqrt{x^2+8x+5}[/math]

così:

[math]\sqrt{x^2(1+\frac{8}{x}+\frac{5}{x^2})}[/math]

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

La

[math]x[/math]

"davanti" alla radice non mi pare che sia sparita.
Per quanto riguarda il radicando ho semplicemente rac-
colto a fattor comune il monomio di grado massimo. :)

[mark930]

Sì, la x è stato un mio errore di ortografia. Adesso è tutto chiaro.
Grazie