Limite forma indeterminata

[oleg.fresi]

Ho questo limite che si presenta nella forma $+infty-infty$: $lim_(x->0^+)(2/sinx-1/(tgx))$
Il limite andrebbe risolto non usando i limiti notevoli ma usando altri metodi come i raccoglimenti.
Ho pensato di raccogliere un $sinx$ da entrambe le frazioni, solo che non sò come. Per esempio se il seno fosse al numeratore farei cosi: $sinx=sinx(1/sin^2x)$, però essendo al denominatore non so come procedere. Potreste aiutarmi per favore?

[Summerwind78]

Ciao

sicuramente ci sono molti modi per calcolare questo limite, ma io proverei a fare così:

prendo la funzione di cui devi calcolare il limite

$2/(sin(x)) - 1/(tan(x))$

e raggruppo $2/(sin(x))$ ottenendo

$2/(sin(x)) (1- (1/(tan(x)))/(2/(sin(x))) )$

quindi ti trovi a calcolare

$lim_(x->0^+) ( 2/(sin(x)) (1- (1/(tan(x)))/(2/(sin(x))) ))$

scompongo il limite

$lim_(x->0^+) ( 2/(sin(x))) \cdot lim_(x->0^+) ( 1- (1/(tan(x)))/(2/(sin(x))) )$

ora risolvo i due limiti separatamente

Primo limite

$lim_(x->0^+) ( 2/(sin(x))) = 2 \cdot lim_(x->0^+) ( 1/(sin(x))) = 2 \cdot 1/0 = 2 \cdot oo = oo$


Secondo limite

$lim_(x->0^+) ( 1- (1/(tan(x)))/(2/(sin(x))) ) = lim_(x->0^+) ( 1- 1/2 (1/(tan(x)))/(1/(sin(x))) )$

che a prima vista sembra complicato ma...

$ (1/(tan(x)))/(1/(sin(x))) = 1/(tan(x)) * sin(x) = 1/(sin(x)/cos(x)) * sin(x) = cos(x)/sin(x) * sin(x) = cos(x)$

quindi
$lim_(x->0^+) ( 1- 1/2 (1/(tan(x)))/(1/(sin(x))) ) = lim_(x->0^+) ( 1- 1/2 cos(x) ) = 1 - 1/2 * 1 = 1-1/2 = 1/2 $

mettiamo quindi insieme i risultati della scomposizione dei due limiti e otteniamo

$lim_(x->0^+) ( 2/(sin(x))) * lim_(x->0^+) ( 1- 1/2 (1/(tan(x)))/(1/(sin(x))) ) = oo * 1/2 = oo$

che ne dici?

[giammaria2]

Perché tante complicazioni?

$lim_(x->0^+)(2/sinx-1/(tanx))=lim_(x->0^+)(2/sinx-cosx/sinx)=lim_(x->0^+)(2-cosx)/sinx=+oo$

dato che il numeratore tende ad $1$ ed il denominatore a $0^+$

[Summerwind78]

"giammaria":Perché tante complicazioni?

$lim_(x->0^+)(2/sinx-1/(tanx))=lim_(x->0^+)(2/sinx-cosx/sinx)=lim_(x->0^+)(2-cosx)/sinx=+oo$

dato che il numeratore tende ad $1$ ed il denominatore a $0^+$

In effetti io l'ho fatto un po' tanto complicata rispetto alla tua versione

[oleg.fresi]

Grazie ad entrambi per i consigli. Comunque provandoci da solo ero sulla strada di Summerwind78,alla versione di giammaria non ci ho proprio pensato!