Limite finito per una funzione che tende a un valore finito

[Okemberg]

Ciao a tutti, ho una domanda sulla verifica di un limite:

$ lim_(x→9)log_3 x = 2 $

Ho agito così:

$ |log_3x - 2| < epsilon $

$ -epsilon
$ { ( log_3x-2 > -epsilon ),( log_3x-2 < epsilon ):} $

$ { ( log_3x >2 -epsilon ),( log_3x < 2+ epsilon ):} $

poi mi sono bloccato perchè il tipo di disequazione logaritmica risultante ha due incognite (epsilon e x) e non so come agire

[JackMek]

Riprendo da qui

$ -epsilon Sommando 2 membro a membro
$ 2-epsilon
Ricordandoci le proprietà fondamentali dei logaritmi,ossia:
$x = a^y$
$y = \log_a x$
E quindi $x=a^(\log_a x)$

Passando all'esponenziale membro a membro si ha
$ 3^(2-epsilon)
Sottraiamo membro a membro $9$
$ 3^(2-epsilon)-9
Ora mi basta definire $\delta$ come valore massimo tra $|3^(2-epsilon)-9|$ e $|3^(2+epsilon)-9|$

e si avrà che $ |x-9|<\delta$

[Okemberg]

Ho capito, grazie mille!