Limite: due procedimenti e due diversi risultati
Ciao a tutti.
Ho una strana situazione con questo limite (preso dal forum)
$lim_{x to 0}(ln((e^x-1)/x))/x$
Usando due vie diverse, ottengo due diversi risultati, di cui uno giusto, come Derive conferma.
Posto lo svolgimento:
Procediamo con il teorema di De L'Hopital.
$lim_{x to 0}((D((e^x-1)/x))/(((e^x-1)/x)))/1$ (con D intendiamo la derivata)
$=lim_{x to 0}((xe^x-e^x+1)/(x^2))/((e^x-1)/x)$
Il denominatore della frazione più grande non lo ricopiamo, infatti esso vale $1$ per lo stesso limite notevole di prima.
Si ha
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^2)$
Ora i due diversi modi:
1)
Derivando nuovamente
$lim_{x to 0}(e^x+xe^x-e^x)/(2x)$
Semplificando
$lim_{x to 0}(e^x)/(2)=1/2$
Derive conferma $1/2$
Invece con il modo 2), riprendendo da dove avevo lasciato, ho
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^2)$
Ma per $xto0$ vale l'approssimazione $1-e^x\approx -x$ per il famoso limite notevole, quindi sostituisco $-x$ al posto dei secondi due addendo al numeratore e ho
$lim_{x to 0}(xe^x-x)/(x^2)$
Semplifico
$lim_{x to 0}(e^x-1)/x$
Ovvero il risultato è $1$
Dov'è che ho fallato nel secondo procedimento?
Grazie per le eventuali risposte, buon fine settimana a tutti
Ciao.
Ho una strana situazione con questo limite (preso dal forum)
$lim_{x to 0}(ln((e^x-1)/x))/x$
Usando due vie diverse, ottengo due diversi risultati, di cui uno giusto, come Derive conferma.
Posto lo svolgimento:
Procediamo con il teorema di De L'Hopital.
$lim_{x to 0}((D((e^x-1)/x))/(((e^x-1)/x)))/1$ (con D intendiamo la derivata)
$=lim_{x to 0}((xe^x-e^x+1)/(x^2))/((e^x-1)/x)$
Il denominatore della frazione più grande non lo ricopiamo, infatti esso vale $1$ per lo stesso limite notevole di prima.
Si ha
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^2)$
Ora i due diversi modi:
1)
Derivando nuovamente
$lim_{x to 0}(e^x+xe^x-e^x)/(2x)$
Semplificando
$lim_{x to 0}(e^x)/(2)=1/2$
Derive conferma $1/2$
Invece con il modo 2), riprendendo da dove avevo lasciato, ho
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^2)$
Ma per $xto0$ vale l'approssimazione $1-e^x\approx -x$ per il famoso limite notevole, quindi sostituisco $-x$ al posto dei secondi due addendo al numeratore e ho
$lim_{x to 0}(xe^x-x)/(x^2)$
Semplifico
$lim_{x to 0}(e^x-1)/x$
Ovvero il risultato è $1$
Dov'è che ho fallato nel secondo procedimento?
Grazie per le eventuali risposte, buon fine settimana a tutti
Ciao.
Risposte
"Steven":
Invece con il modo 2), riprendendo da dove avevo lasciato, ho
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^2)$
Ma per $xto0$ vale l'approssimazione $1-e^x\approx -x$ per il famoso limite notevole, quindi sostituisco $-x$ al posto dei secondi due addendo al numeratore e ho
$lim_{x to 0}(xe^x-x)/(x^2)$
Semplifico
$lim_{x to 0}(e^x-1)/x$
Ovvero il risultato è $1$
Dov'è che ho fallato nel secondo procedimento?
Il punto è che non è vero che se $f sim g$ e $h sim l$ allora $f+h sim g+l$. Per vederlo puoi appunto prendere $f(x)=xe^x$, $h(x)=1-e^x$, $g(x)=f(x)$, $l(x)=-x$.
(con $f sim g$ intendo che $f/g$ tende a 1)....per questo ci sono gli o piccoli
Edito: un esempio più semplice. $1+x sim 1$ ma non è vero che $e^x-(1+x) sim e^x-1$, infatti $(e^x-(1+x))/(e^x-1)$ tende a zero.
Grazie Martino, non sapevo di questa cosa. In realtà non ci ho mai pensato e non mi sono posto il problema.
In generale, quando ho un'approssimazione del tipo
$f(x) sim g(x)$
non posso usare il 1° principio di equivalenza delle equazioni.
Quindi se ho per esempio
$a+b+c+d sim alpha+beta+gamma+delta$
e vale $b+c sim p$ e $beta+gamma sim pi$ non posso concludere "sostituendo" così
$a+p+d=alpha+pi+delta$
Si può concludere così?
Invece si potrebbe dire che non vale nemmeno il secondo principio, parlando di approssimazioni?
Grazie per la disponibilità
Ciao.
In generale, quando ho un'approssimazione del tipo
$f(x) sim g(x)$
non posso usare il 1° principio di equivalenza delle equazioni.
Quindi se ho per esempio
$a+b+c+d sim alpha+beta+gamma+delta$
e vale $b+c sim p$ e $beta+gamma sim pi$ non posso concludere "sostituendo" così
$a+p+d=alpha+pi+delta$
Si può concludere così?
Invece si potrebbe dire che non vale nemmeno il secondo principio, parlando di approssimazioni?
Grazie per la disponibilità
Ciao.
Io direi piuttosto così (parto dal tuo esempio): tu avevi $xe^x-e^x+1$. Puoi considerare i due sviluppi
$xe^x = x+x^2+o(x^2)$
$-e^x+1=-x+o(x)$
Come vedi la sostituzione nel limite produce $(x^2+o(x))/(x^2)$, e questa espressione non ha un valore preciso per $x to 0$ perché $(o(x))/(x^2)$ non tende necessariamente a zero (per esempio se prendi proprio $x^2$ come o piccolo di x). Questo capita proprio perché il primo sviluppo è arrestato al secondo ordine, il secondo è arrestato al primo ordine!
Mi pare che una volta tu avessi detto che non conoscevi il linguaggio degli o piccoli, mi sbaglio? In tal caso è un peccato perché credo che risulterebbe molto più chiaro il fatto che "una somma di asintotiche non è asintotica alla somma" (in generale): e credo sia proprio per questo problema che si utilizzano gli sviluppi di Taylor e ogni volta si decide accuratamente "dove fermarsi con lo sviluppo".
Quanto a primo e secondo principio... il primo non vale, e l'abbiamo visto. Quanto al secondo, esso vale, non ci sono problemi: se $f sim g$ e $h sim l$ allora $fh sim gl$.
Scusa se mi sono dilungato. Cià
$xe^x = x+x^2+o(x^2)$
$-e^x+1=-x+o(x)$
Come vedi la sostituzione nel limite produce $(x^2+o(x))/(x^2)$, e questa espressione non ha un valore preciso per $x to 0$ perché $(o(x))/(x^2)$ non tende necessariamente a zero (per esempio se prendi proprio $x^2$ come o piccolo di x). Questo capita proprio perché il primo sviluppo è arrestato al secondo ordine, il secondo è arrestato al primo ordine!
Mi pare che una volta tu avessi detto che non conoscevi il linguaggio degli o piccoli, mi sbaglio? In tal caso è un peccato perché credo che risulterebbe molto più chiaro il fatto che "una somma di asintotiche non è asintotica alla somma" (in generale): e credo sia proprio per questo problema che si utilizzano gli sviluppi di Taylor e ogni volta si decide accuratamente "dove fermarsi con lo sviluppo".
Quanto a primo e secondo principio... il primo non vale, e l'abbiamo visto. Quanto al secondo, esso vale, non ci sono problemi: se $f sim g$ e $h sim l$ allora $fh sim gl$.
Scusa se mi sono dilungato. Cià
Mi pare che una volta tu avessi detto che non conoscevi il linguaggio degli o piccoli, mi sbaglio?
Non ricordo se l'ho detto, in ogni caso non lo conosco, ma questa potrebbe essere un'occasione per iniziare
Il fatto è che sto in 5° scientifico tradizionale, il polinomio di Taylor lo abbiamo fatto ma non mi ci sono esercitato molto.
Comunque riconosco quegli sviluppi.
Ti chiedo: noto che se tronco Taylor al secondo ordine ottengo
$xe^x=x+x^2+o(x^2)$
$1-e^x=-x-x^2+o(x^2)$
Se vado a sostituire, rimangono solo le o piccole.
Purtroppo non so affrontare i limiti con gli sviluppi: come dovrei procedere in tal caso? Arrestarmi al terzo ordine?
Grazie e non preoccuparti di dilungarti, ti ringrazio anzi per la pazienza
Ciao.
ps: "o piccolo" $o(x^n)$ sarebbe quindi $(f^(n-1)(xi))/((n-1)!)*x^(n-1)$ ?
"Steven":
Ti chiedo: noto che se tronco Taylor al secondo ordine ottengo
$xe^x=x+x^2+o(x^2)$
$1-e^x=-x-x^2+o(x^2)$
Se vado a sostituire, rimangono solo le o piccole.
No, aspetta: lo sviluppo di $1-e^x$ è
$1-e^x=-x-x^2/2+o(x^2)$
Ne segue che la sostituzione produce $x^2/2$. Semplificando quindi gli $x^2$, resta 1/2. E tutto il resto tende a zero perché per definizione $lim_{x to 0}(o(x^2))/(x^2)=0$.
ps: "o piccolo" $o(x^n)$ sarebbe quindi $(f^(n-1)(xi))/((n-1)!)*x^(n-1)$ ?
Un "o-piccolo di x in zero" è per definizione una funzione $f(x)$ diciamo $C^{oo}$ (per evitarci problemi: purtroppo non so troppo la teoria, per questo dovrai rivolgerti agli analisti
), cioè "derivabile quante volte vuoi", e ciò almeno in un intorno di zero, tale che semplicemente si abbia $lim_{x to 0}(f(x)/x)=0$. Per esempio $x^2$ è o-piccolo di x, e possiamo scrivere$x^2 in o(x)$ ($x^2$ appartiene all'o-piccolo di x)
ma per abuso di linguaggio spesso si scrive
$x^2=o(x)$ ($x^2$ è un o-piccolo di x)
Questo è un abuso di linguaggio perché questo "uguale" non ha le proprietà usuali dell'uguale che conosciamo. Infatti anche $x^3$ è o-piccolo di x, e quindi $x^3=o(x)=x^2$, ma naturalmente $x^3 ne x^2$ (cade la proprietà transitiva). E questo, credimi, produce a volte ambiguità inenarrabili in chi non ha le idee sufficientemente chiare.
Più in generale, $f$ è o-piccolo di $g$ per $x to x_0$ se il limite $f/g$ per $x to x_0$ è zero.
Quando scrivi $e^x=1+x+o(x)$ (intorno a zero), significa esattamente $e^x-1-x = o(x)$, ovvero che la funzione $e^x$ ha la proprietà che $lim_{x to 0}(e^x-1-x)/x = 0$. Significa esattamente che esiste una funzione $f(x)$ tale che $lim_{x to 0}(f(x))/x = 0$ e tale che $e^x=1+x+f(x)$. Invece di introdurre "una funzione f tale che..." la si chiama o(x) e buona notte. La si identifica cioè con la sua proprietà a noi utile, cioè col fatto che essa è un o-piccolo di x.
Ora il vantaggio di tutto ciò è che una funzione è asintotica ad un suo sviluppo arrestato se tale sviluppo arrestato non è nullo (perché la funzione nulla non può essere asintotica a qualcosa), e la somma di sviluppi è lo sviluppo della somma. Quindi gli sviluppi con gli o-piccoli risolvono il problema della non compatibilità del passaggio a funzioni asintotiche col primo principio di cui parlavi. Credo che per capire questo ti serva solo fare esercizio, io mi rendo conto di non essere proprio chiaro e mi rendo anche conto che quello che ho in testa non riesco ad esprimerlo a parole
(qualcuno aveva detto "la matematica non si capisce: alla matematica ci si abitua": è proprio vero).Tutto ciò tenendo conto che quando fai la somma degli sviluppi conviene arrestarli tutti allo stesso ordine (il motivo è semplice: se non li arresti tutti allo stesso ordine ci saranno molti termini nello sviluppo della somma che avrai scritto per niente, perché appartenenti all'o-piccolo relativo alla somma). Ricorda che
$o(x^n)+o(x^m)=o(x^{min(m,n)})$
(questa formula si legge così: "un o-piccolo di $x^n$ più un o-piccolo di $x^m$ è un o-piccolo di $x^{min(m,n)}$")
(facile esercizio). Ricorda inoltre che $o(1) supset o(x) supset o(x^2) supset ... supset o(x^n) supset ...$, dove le inclusioni sono strette (dato che $x^n$ appartiene a $o(x^{n-1})$ ma non a $o(x^n)$). In altre parole $lim_{x to 0}(o(x^n))/(x^m)=0$ se $n ge m$.
Tornando al tuo esempio: $lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^2)$. Osserva che $xe^x$ ha uno sviluppo infinito: $xe^x = x+x^2+x^3/(2!)+...+x^{n+1}/(n!)+...$. Quindi "lasciarlo così" è come sostituirgli il suo sviluppo mai arrestato (cioè arrestato all'infinito). Invece mettere $-x$ al posto di $-e^x+1$ è sviluppare $1-e^x$ arrestandolo al primo ordine. In altre parole ti viene $lim_{x to 0}(xe^x-x+o(x))/(x^2)$. L'errore "nascosto" che avevi fatto è trascurare quel $o(x)$ al numeratore. Ora, dato che il numeratore è già di per sé un o-piccolo di x, quel o(x) non è assolutamente trascurabile
Puoi vederla anche così: poiché non puoi dire niente su $lim_{x to 0}(o(x))/(x^2)$, l'arresto al primo ordine non produce vantaggi.
Ciao, grazie mille per la disponibilità.
Ma figurati
Per essere la prima volta che mi avvicino all'argomento, ho capito anche troppo e ti sei spiegato benissimo.
L'unico intoppo l'ho trovato con il concetto di asintoticità di una funzione a un suo sviluppo, perchè non so che concetto è.
Ok, capito.
Noto però che se blocco lo sviluppo di $1-e^x$ all'ordine secondo o terzo, e sostituisco, il limite torna.
Questo perché, correggimi se sbaglio, $o(x^2)$ e $o(x^3)$ sono trascurabili.
Quindi in questa caso mi pare che il primo principio valga, perché si ha
$1-e^x sim -x-x^2/2 \implies xe^x+1-e^x sim xe^x$
Generalizziamo poi al limite
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^m)$
Se non ho capito male, devo troncare lo sviluppo a un ordine $n$ tale che $n>m-1$ o come dicevi prima $n>=m$
questo per assicurarci che l' o piccolo non assuma troppa importanza.
Te la senti di confermare o sto prendendo un abbaglio?
Buon pomeriggio, grazie ancora.
mi rendo conto di non essere proprio chiaro e mi rendo anche conto che quello che ho in testa non riesco ad esprimerlo a parole
Ma figurati
Per essere la prima volta che mi avvicino all'argomento, ho capito anche troppo e ti sei spiegato benissimo.
L'unico intoppo l'ho trovato con il concetto di asintoticità di una funzione a un suo sviluppo, perchè non so che concetto è.
In altre parole ti viene $lim_{x to 0}(xe^x-x+o(x))/(x^2)$. L'errore "nascosto" che avevi fatto è trascurare quel $o(x)$ al numeratore. Ora, dato che il numeratore è già di per sé un o-piccolo di x, quel o(x) non è assolutamente trascurabile
Ok, capito.
Noto però che se blocco lo sviluppo di $1-e^x$ all'ordine secondo o terzo, e sostituisco, il limite torna.
Questo perché, correggimi se sbaglio, $o(x^2)$ e $o(x^3)$ sono trascurabili.
Quindi in questa caso mi pare che il primo principio valga, perché si ha
$1-e^x sim -x-x^2/2 \implies xe^x+1-e^x sim xe^x$
Generalizziamo poi al limite
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^m)$
Se non ho capito male, devo troncare lo sviluppo a un ordine $n$ tale che $n>m-1$ o come dicevi prima $n>=m$
questo per assicurarci che l' o piccolo non assuma troppa importanza.
Te la senti di confermare o sto prendendo un abbaglio?
Buon pomeriggio, grazie ancora.
"Steven":
L'unico intoppo l'ho trovato con il concetto di asintoticità di una funzione a un suo sviluppo, perchè non so che concetto è.
Volevo dire che se tu hai (diciamo intorno a $x_0$) $f(x)=g(x)+o(h(x))$ con $g(x) ne o(h(x))$ (ovvero g non è un o-piccolo di h in $x_0$) allora f e g sono asintotiche in $x_0$: infatti $g ne o(h)$ significa che $g/h$ non è infinitesima in $x_0$, quindi $h/g$ non tende ad infinito, quindi $f/(g) = 1+(o(h))/(g) = 1+(o(h))/(h) h/(g) to 1+0=1$.
Quindi se prendi lo sviluppo di $f(x)$ in zero e lo arresti al livello n, ottenendo $f(x)=g(x)+o(x^n)$, allora $f sim g$ in zero.
[quote]In altre parole ti viene $lim_{x to 0}(xe^x-x+o(x))/(x^2)$. L'errore "nascosto" che avevi fatto è trascurare quel $o(x)$ al numeratore. Ora, dato che il numeratore è già di per sé un o-piccolo di x, quel o(x) non è assolutamente trascurabile
Ok, capito.
Noto però che se blocco lo sviluppo di $1-e^x$ all'ordine secondo o terzo, e sostituisco, il limite torna.
Questo perché, correggimi se sbaglio, $o(x^2)$ e $o(x^3)$ sono trascurabili.[/quote]
Non ti consiglio di abusare del termine "trascurabile". Hai ragione, in questo caso non sono "trascurabili", ma tutto dipende dal limite in questione.
Più che altro il fatto è questo: $1-e^x=-x-x^2/2+o(x^2)$, quindi $xe^x+(1-e^x)=xe^x-x-x^2/2+o(x^2)$, quindi in questo caso il limite è
$lim_{x to 0} (xe^x-x-x^2/2+o(x^2))/(x^2) = lim_{x to 0} (e^x-1-x/2+o(x))/x = lim_{x to 0} (x-x/2+o(x))/x = 1/2+lim_{x to 0} (o(x))/x = 1/2$ (tutto ha funzionato bene perché all'espressione $lim_{x to 0} (o(x))/x$ è attribuibile un valore)
[Naturalmente $lim_{x to 0}(o(x))/x=0$ significa: "per ogni $f(x) in o(x)$ si ha $lim_{x to 0}(f(x))/x =0$"]
Il termine "trascurabile" va usato dopo averlo digerito. Intanto ti consiglio di pensarla così: tu puoi arrestare lo sviluppo dove vuoi, ma se lo arresti troppo presto trovi un limite che ha un valore non determinabile, quindi devi procedere in modo diverso. Per esempio se nel tuo limite fermi tutto al primo ordine abbiamo visto che ottieni qualcosa tipo
(*) $lim_{x to 0} (o(x))/(x^2)$
Questo è importante: qui si rivela in tutta la sua pericolosità l'abuso di linguaggio di cui parlavo. Questo limite non ha un valore. Che significa? Significa che se f è un o-piccolo di x, allora il limite del rapporto $f(x)/(x^2)$ non è determinato (ovvero sapere che f(x) è o-piccolo di x non è sufficiente per determinare tale limite, occorrono più informazioni su f(x)), dato che per esempio:
- $x^2$ è un o-piccolo di x e $lim_{x to 0} (x^2)/(x^2) = 1$
- $x^3$ è un o-piccolo di x e $lim_{x to 0} (x^3)/(x^2) = 0$
- $pi x^2$ è un o-piccolo di x e $lim_{x to 0} (pi x^2)/(x^2) = pi$
Quindi in questa caso mi pare che il primo principio valga, perché si ha
$1-e^x sim -x-x^2/2 \implies xe^x+1-e^x sim xe^x$
Non ti consiglio di pensarla in termini di "primo principio". Ma in effetti non saprei parlarti bene di sviluppi asintotici in relazione al primo principio, dovrei pensarci.
Generalizziamo poi al limite
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^m)$
Se non ho capito male, devo troncare lo sviluppo a un ordine $n$ tale che $n>m-1$ o come dicevi prima $n>=m$
questo per assicurarci che l' o piccolo non assuma troppa importanza.
Devi provare qualche sviluppo e sostituire per capire a che ordine conviene fermarsi.
Puoi fermarlo all'ordine 2.
Se lo fermi all'ordine 1 hai $lim_{x to 0} (o(x))/(x^m)$ che non ha significato se $m > 1$, e vale invece zero se $m=1$.
Se lo fermi all'ordine 2 hai $lim_{x to 0} (x^2/2+o(x^2))/(x^m) = \{(0\ se\ m=1),(1/2\ se\ m=2),(oo\ se\ m>2):}$
NB: non sono sicuro della seguente cosa che ho detto.
Volevo dire che se tu hai (diciamo intorno a $x_0$) $f(x)=g(x)+o(h(x))$ con $g(x) ne o(h(x))$ (ovvero g non è un o-piccolo di h in $x_0$) allora f e g sono asintotiche in $x_0$: infatti $g ne o(h)$ significa che $g/h$ non è infinitesima in $x_0$, quindi $h/g$ non tende ad infinito, quindi $f/(g) = 1+(o(h))/(g) = 1+(o(h))/(h) h/(g) to 1+0=1$.[/quote]
La dimostrazione è un po' "sportiva", non ti fidare ciecamente: il fatto che $h/g$ non tenda ad infinito non implica che il suo prodotto con una infinitesima tenda a zero.
Come ti dicevo, ho qualche carenza teorica in analisi
"Martino":
[quote="Steven"]L'unico intoppo l'ho trovato con il concetto di asintoticità di una funzione a un suo sviluppo, perchè non so che concetto è.
Volevo dire che se tu hai (diciamo intorno a $x_0$) $f(x)=g(x)+o(h(x))$ con $g(x) ne o(h(x))$ (ovvero g non è un o-piccolo di h in $x_0$) allora f e g sono asintotiche in $x_0$: infatti $g ne o(h)$ significa che $g/h$ non è infinitesima in $x_0$, quindi $h/g$ non tende ad infinito, quindi $f/(g) = 1+(o(h))/(g) = 1+(o(h))/(h) h/(g) to 1+0=1$.[/quote]
La dimostrazione è un po' "sportiva", non ti fidare ciecamente: il fatto che $h/g$ non tenda ad infinito non implica che il suo prodotto con una infinitesima tenda a zero.
Come ti dicevo, ho qualche carenza teorica in analisi
"Martino":
Come ti dicevo, ho qualche carenza teorica in analisi
Non preoccuparti
Ho comunque capito cosa sono questi famosissimi "o piccoli", capendo quindi anche qualcosa in più sulla natura dei limiti notevoli.
Nel l'ultimo post è tutto chiaro.
Ti ringrazio per il tempo dedicatomi, alla prossima
Buona serata.
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