Limite difficilissimo (per me),chi mi può aiutare?
$lim_(x->0+) ((1/2)^(1/x)+log(sqrt(x)))/(x)^(-1/2)$
Risposte
Ci provo io. Per $x->0^+$ abbiamo che:
$(1/2)^(1/x)->0$;
$log(sqrt(x))->-oo$;
$x^(-1/2)->+oo$
E possiamo forse concludere che l'intero limite tende a zero in quanto la funzione al denominatore va ad infinito più velocemente del logaritmo che abbiamo numeratore. Potrebbe andare?
$(1/2)^(1/x)->0$;
$log(sqrt(x))->-oo$;
$x^(-1/2)->+oo$
E possiamo forse concludere che l'intero limite tende a zero in quanto la funzione al denominatore va ad infinito più velocemente del logaritmo che abbiamo numeratore. Potrebbe andare?
Prova a raccogliere $ 1/\sqrtx $ :
$ lim_{x->0^+}((1/2)^(1/x)+log(\sqrtx))/(x)^(-1/2)=lim_{x->0^+}((1/2)^(1/x)+log(\sqrtx))/(1/sqrtx) $
$ =lim_{x->0^+}(1/(\sqrtx)((\sqrtx)(1/2)^(1/x)+(\sqrtx)log(\sqrtx)))/(1/sqrtx) $
$ =... $
$ lim_{x->0^+}((1/2)^(1/x)+log(\sqrtx))/(x)^(-1/2)=lim_{x->0^+}((1/2)^(1/x)+log(\sqrtx))/(1/sqrtx) $
$ =lim_{x->0^+}(1/(\sqrtx)((\sqrtx)(1/2)^(1/x)+(\sqrtx)log(\sqrtx)))/(1/sqrtx) $
$ =... $
Grazie mille per l'aiuto,non riuscivo proprio a capire come muovermi.Sono andato avanti a sviluppare il limite però arrivato a questo punto come si fa, perchè ottengo sempre una forma indeterminata?
$ lim_ (x-> 0+) ((1/sqrt(x)).(((sqrt(x)).((1/2)^(1/x)+log sqrt(x)))))/((1/sqrt(x))$
$ lim_ (x-> 0+) ((1/sqrt(x)).(((sqrt(x)).((1/2)^(1/x)+log sqrt(x)))))/((1/sqrt(x))$
"Pierlu11":
Prova a raccogliere $ 1/\sqrtx $ :
$ lim_{x->0^+}((1/2)^(1/x)+log(\sqrtx))/(x)^(-1/2)=lim_{x->0^+}((1/2)^(1/x)+log(\sqrtx))/(1/sqrtx) $
$ =lim_{x->0^+}(1/(\sqrtx)((\sqrtx)(1/2)^(1/x)+(\sqrtx)log(\sqrtx)))/(1/sqrtx) $
$ =... $
Dopo aver semplificato ottieni $ lim_{x->0^+}((\sqrtx)(1/2)^(1/x)+(\sqrtx)log(\sqrtx)) $ dove il primo termine tende palesemente a $ 0 $ ; l'altro puoi dedurre subito che è $ \sqrt(x $ a vincere sul logaritmo e quindi tende a $ 0 $ , oppure puoi staccarti dall'esercizio, considerare solo $ lim_{x->0^+}(\sqrtx)log(\sqrtx)= lim_{x->0^+}(log(\sqrtx))/(1/\sqrt(x) $ e applicare la regola di Bernoulli (o teorema di De l'Hopital) se l'hai già vista...
Ecco un modo per semplificarsi i calcoli:
$=lim_(x->0^+)((1/2)^(1/x))/(1/sqrtx)+lim_(x->0^+)(log(sqrtx))/(1/sqrtx)$
Il primo limite tende a zero; nel secondo conviene la sostituzione $u=1/sqrtx$, con cui ottieni
$=0+lim_(u->+oo)(-logu)/u$
ed ora puoi ragionare con l'ordine degli infiniti o con l'Hospital.
In sostanza, è lo stesso ragionamento di Pierlu11, ma visto così può essere più facile.
$=lim_(x->0^+)((1/2)^(1/x))/(1/sqrtx)+lim_(x->0^+)(log(sqrtx))/(1/sqrtx)$
Il primo limite tende a zero; nel secondo conviene la sostituzione $u=1/sqrtx$, con cui ottieni
$=0+lim_(u->+oo)(-logu)/u$
ed ora puoi ragionare con l'ordine degli infiniti o con l'Hospital.
In sostanza, è lo stesso ragionamento di Pierlu11, ma visto così può essere più facile.
ringrazio tutti quelli che mi hanno risposto aiutandomi a capire come risolverlo.
p.s. ( bernoulli non lo abbiamo fatto , Hopital si però sono in difficoltà ad usarlo in quel limite
p.s. ( bernoulli non lo abbiamo fatto , Hopital si però sono in difficoltà ad usarlo in quel limite
La regola di Bernoulli e il teorema di De l'Hopital sono la stessa cosa (mi piace chiamarla "regola di Bernoulli" perché fu effettivamente lui a formularla)...
Comunque basta applicare la regola di derivazione di funzioni composte:
$ (=)(1/\sqrtx*1/2*1/\sqrtx)/((-1/2)*1/x^(3/2))=-1/x*x^(3/2)=-\sqrtx->0 $
Comunque basta applicare la regola di derivazione di funzioni composte:
$ (=)(1/\sqrtx*1/2*1/\sqrtx)/((-1/2)*1/x^(3/2))=-1/x*x^(3/2)=-\sqrtx->0 $
Oppure basta usare la mia sostituzione: il $lim_(u->+oo)(logu)/u$ non dà certo difficoltà.
grazie mille per l'aiuto, ora mi è tutto molto chiaro 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo