Limite di una successione

[HowardRoark]

Devo calcolare $lim_(n->+oo) (3^n-5n)/(2^n-n^2)$. La domanda è a risposta multipla.
Inizialmente credevo che il limite fosse $3/2$ perché numeratore e denominatore hanno lo stesso grado. Tra le opzioni c'è quella che la successione è infinitesima; ho pensato a questa perché $-n^2$ (al denominatore) ha grado maggiore di $-5n$ (al numeratore).

Però, ripeto: a me sembra che la cosa vada in contrasto col fatto che, se un limite si presenta nella forma indeterminata $oo/oo$ e i polinomi del numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, allora tale limite è uguale al rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo al numeratore e al denominatore.

Cosa sto sbagliando?

[axpgn]

Prima di tutto non è un polinomio e poi non mi pare $(3/2)^n$ converga a $3/2$

[HowardRoark]

Ora è chiaro perché non posso applicare la regola del limite del rapporto di due funzioni polinomiali.

Comunque sia, numeratore e denominatore sono entrambi infiniti dello stesso ordine: il limite non dovrebbe quindi essere finito?

[Laika1969]

Per nulla, hai la base di una potenza che è maggiore di 1, questa può solo incrementare

[HowardRoark]

"Laika1969":Per nulla, hai la base di una potenza che è maggiore di 1, questa può solo incrementare

Effettivamente se vedo la cosa in questa maniera $(3^n)/(2^n-n^2) -(5n)/(2^n-n^2)$ riesco subito a capire che il primo termine tende a $+oo$ e il secondo tende a $0$.

Ma quindi il numeratore è un infinito di ordine superiore al denominatore perché la base del termine elevato alla $n$ ($3$) è maggiore della base del termine elevato alla $n$ al denominatore ($2$)?

[Bokonon]

"HowardRoark":
Ma quindi il numeratore è un infinito di ordine superiore al denominatore perché la base del termine elevato alla $n$ ($3$) è maggiore della base del termine elevato alla $n$ al denominatore ($2$)?

Rileggi cosa ha scritto Alex...
Quand'è che la serie geometrica converge?
Questo risponde alla tua domanda in generale.

P.S. Ops, ho confuso un poco i thread sfogliandoli e leggendoli rapidamente...qua c'era un limite non una serie come in altri due thread.
Però concettualmente, in una serie geometrica guarderesti comunque cosa fa ad infinito

[HowardRoark]

Un momento, mi sto perdendo: perché è una serie geometrica?

Per verificare che una successione è una serie geometrica uso questa relazione $(a_n)/(a_(n-1)) =q$. In questo caso però non saprei davvero come districarmi con i calcoli.

Comunque non riesco ancora a capire dove sia il mio errore: forse sarà il caso che mi ripassi infiniti e infinitesimi?

[axpgn]

Allora ... per $n->infty$ abbiamo che $3^n-5n\ ->\ 3^n$ e $2^n-n^2\ ->\ 2^n$ per cui l'espressione diventa $3^n/2^n=(3/2)^n$; ora questo in sostanza è un'esponenziale con base maggiore di uno quindi ...

Non è un polinomio, dove la variabile è la base, è un'esponenziale dove la variabile è all'esponente ... Ok?

Cordialmente, Alex

[HowardRoark]

Chiarissimo. Continuavo a non capire perché consideravi soltanto $(3/2)^n$.
Grazie mille!

[ot]infiniti e infinitesimi me li ripasso uguale però [/ot]

[axpgn]