Limite di una funzione

[satellitea30]

$lim_(x=>∞) cos(1/sqrtx)^x$

salve qualcuno può darmi un aiuto su come risolverla senza il teorema di de l'hopital.....

praticamente è una forma indefinita io ho provato a fare

$lim_(x=>∞) e^(ln(cos(1/sqrtx)^x)$

$lim_(x=>∞) e^(x(ln(cos(1/sqrtx)$

ma qui mi blocco perchè mi viene e elevato a infinito per zero .....

[Quinzio]

Direi che si puo' risolvere con gli sviluppi in serie:

$cos(x) = 1- x^2/2 + o(x^2)$

e poi con il limite notevole

$lim_{n -> \infty} (1+1/n)^n = e$

Quindi

$ lim_{x -> \infty} [\cos(1/\sqrt x)]^x = lim_{x -> \infty} [1- 1/ (2 x) + o(1/x)]^x = lim_{x -> \infty} {[1- 1/ (2 x) + o(1/x)]^(-2x)}^(-1/2) = e^{-1/2} = 1/\sqrt e$

[satellitea30]

grazie mille per la risposta celere, ma purtroppo questo metodo ancora non è incluso nel capitolo di questi esercizi

[Studente Anonimo]

Ponendo $t=1/sqrt(x)$ hai $lim_(t to 0^+) [cos(t)]^(1/t^2)$.

Scrivendo $f(t)=cos(t)-1$ ottieni
$lim_(t to 0^+) ((1+f(t))^(1/(f(t))))^(f(t)/(t^2))$.

Il limite $lim_(t to 0^+) f(t)/t^2$ è riconducibile a un limite notevole (quale?).

Sai continuare?