Limite di una forma indeterminata
Salve a tutti. Ho da risolvere il seguente limite:
$lim_(x->+infty)(x+1)^(pi/2-arctan(x))$ che è una forma indeterminata del tipo $infty°$. Usando il procedimento standard per questo tipo di funzione cioè $lim_(x->x_0)f(x)^(g(x)$ $=lim e^(g(x)*(f(x)-1)$ mi viene all'esponente:
$(pi/2-arctan(x))(x+1-1)$ che è una forma indeterminata del tipo $0*infty$ risolvibile con l'Hopital.
$(pi/2-arctan(x))/x^(-1) ->1/(1+x^2)*(x^2) ->1$ per $x->+infty$ e quindi, in definitiva otterrei $e^1=e$. Ma studiando il grafico mi pare evidente che il limite della funzione è $1$ e cioè il limite ad esponente dovrebbe essere $0$ e non $1$.
Insomma l'errore c'è ma non riesco a trovarlo. Qualcuno è così gentile e bravo da aiutarmi?
Grazie.
$lim_(x->+infty)(x+1)^(pi/2-arctan(x))$ che è una forma indeterminata del tipo $infty°$. Usando il procedimento standard per questo tipo di funzione cioè $lim_(x->x_0)f(x)^(g(x)$ $=lim e^(g(x)*(f(x)-1)$ mi viene all'esponente:
$(pi/2-arctan(x))(x+1-1)$ che è una forma indeterminata del tipo $0*infty$ risolvibile con l'Hopital.
$(pi/2-arctan(x))/x^(-1) ->1/(1+x^2)*(x^2) ->1$ per $x->+infty$ e quindi, in definitiva otterrei $e^1=e$. Ma studiando il grafico mi pare evidente che il limite della funzione è $1$ e cioè il limite ad esponente dovrebbe essere $0$ e non $1$.
Insomma l'errore c'è ma non riesco a trovarlo. Qualcuno è così gentile e bravo da aiutarmi?
Grazie.
Risposte
Ma la trasformazione della funzione non dovrebbe prevedere un logaritmo?
$f(x)^(g(x))=e^(g(x)*ln(f(x)))$
$f(x)^(g(x))=e^(g(x)*ln(f(x)))$
"burm87":
Ma la trasformazione della funzione non dovrebbe prevedere un logaritmo?
$f(x)^(g(x))=e^(g(x)*ln(f(x)))$
Confermo!
In questo caso l'esponente diventa $(pi/2-arctg(x))*ln(x+1)$.
@Gabriello.
Quel procedimento và bene,ed è spesso utilissimo,quando la forma indeterminata è del tipo $[1^(oo)]$:
ergo nel tuo caso è illegittimo applicarlo,e restano ottimi i suggerimenti degli altri partecipanti al thread
(uniti ad un pò di pazienza della quale dovrai armarti per i conti,
partendo dalla sostituzione $t=log(x+1)$ che,magari,renderà meno incasinata l'applicazione del teorema di De L'Hospital a quell'esponente..)!
Saluti dal web.
Quel procedimento và bene,ed è spesso utilissimo,quando la forma indeterminata è del tipo $[1^(oo)]$:
ergo nel tuo caso è illegittimo applicarlo,e restano ottimi i suggerimenti degli altri partecipanti al thread
(uniti ad un pò di pazienza della quale dovrai armarti per i conti,
partendo dalla sostituzione $t=log(x+1)$ che,magari,renderà meno incasinata l'applicazione del teorema di De L'Hospital a quell'esponente..)!
Saluti dal web.
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