Limite di una espressione esponenziale

[ipaxo]

ragazzi, potreste darmi una mano su questo limite:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (1-\cos{x})^{\tan{x}} \) ?

[feddy]

Per questo tipo di forma indeterminata spesso si ricorre al cosiddetto artificio di Bernoulli, ossia $x=e^ln(x).$

Da qui puoi riscrivere il limite in un certo modo e applicare un limite notevole noto.

In spoiler solo il risultato

$1/e$

[ipaxo]

"feddy":Per questo tipo di forma indeterminata spesso si ricorre al cosiddetto artificio di Bernoulli, ossia $x=e^ln(x).$

Da qui puoi riscrivere il limite in un certo modo e applicare un limite notevole noto.

In spoiler solo il risultato

$1/e$

con la forma esponenziale si viene ricondotti a calcolare il limite dell'esponente, cioè:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{\sin{x}} \cdot \frac{\ln({1-\cos{x})}}{\cos{x}} = 1 \cdot (-1)=-1 \)

e quindi il risultato

\(\displaystyle e^{-1} \)

giusto?

[feddy]

Yes

[ipaxo]

"feddy":Yes

sì, ma anche qui sarei portato a vederlo formalmente meglio..

[feddy]

Cioè? Come lo vorresti?

[ipaxo]

"feddy":Cioè? Come lo vorresti?

con il limite notevole più esplicito, forse con un cambio di variabile, poi provo..

[feddy]

Certamente, il cambio di variabile funziona benissimo ma è la stessa cosa che ho fatto, senza esplicitarlo

[Lo_zio_Tom]

"MtoF":[quote="feddy"]Cioè? Come lo vorresti?

con il limite notevole più esplicito.[/quote]

vedilo così:

$lim_(x->(pi/2)^-)[(1+1/(-1/cosx))^(-1/cosx)]^(-senx)$


poni

$-1/(cosx)=t$

ed il limite viene

$lim_(t->oo)[(1+1/t)^t]^(-sqrt(1-1/t^2))=e^(-1)$

[ipaxo]

wao!!