Limite di un compito passato

[Akillez]

Apro il post qua perchè mi vergogno di aprirlo in università da quanto è banale.
In un compito passato ho visto la seguente espressione $lim_(y->+oo) (e^y)/y$.

Soluzione suggerita:

ovviamente $(1/y)/(e^y)$ si applica poi il limte notevole da cui 1/0 = +oo$

Soluzione dubbia:

$lim_(y->+oo) ((y)/(e^y))^-1$.
$(lim_(y->+oo)(y)/(e^y))^-1$.
$0^-1$

penso che sia sbagliata, mi potreste dare un parere?

[Giusepperoma2]

scusa, ma non sono sicuro di leggere bene:

il limite e' per x che tende ad infinito o per y?

se e' per x l'espressione e' costante e quindi rimane uguale al limite

se e' per y il limite e' infinito e si vede semplicemente osservando che l'esponenziale va ad infinito molto piu' velocemente di y, oppure usando De L'Hopital....

o forse c'e' una relazione che hai scordato di scrivere fra x ed y?

[Akillez]

mi devi perdonare ma sono stanco ed ho sbagliato a scrivere ora ho editato il primo post e rimesso a posto le cose.
Noi L'hopital non l'abbiamo fatto quindi dobbiamo risolvere tali limiti con i limiti notevoli. Cmq interessante de l'hopital spero di farlo presto

[Giusepperoma2]

ok, ma non e' gia' un limite notevole?

voglio dire l'esponenziale diviso qualsiasi altra cosa va ad infinito...

[Akillez]

bè la forma a cui va ricondotta per utilizzare il limite notevole(almeno quello che utilizziamo noi) è $(x)/(x^b)$ allora da qui il discorso è automatico. Il problema che mi ponevo io era, come ricondursi a quella forma?
$a) 1/(y/e^y)$
$b) (y/e^y)^(-1)$

ecco il mio problema

[cavallipurosangue]

Io non vedo dove sta il problema.
Sappiamo che $f(x)$ << $g(x)=>{f(x)}/{g(x)}=0$
Quindi basta conoscere come si relazionano in ordine di garndezza le operazioni più comuni:
$n^{\alpha}$ << $\alpha^n$ << $n!$ << $n^n$ << $(2n)!.....$ dove $\alpha$ è un parametro in R
Io almeno per queste più semplici uso questo metodo, sennò spesso ricorro alla formula di Stirling semplificata $n^n/e^n

Cita

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[cavallipurosangue]

In questo caso: $y$<<$e^y=>y/e^y=0=>1/{y/e^y}\to+infty$

[Akillez]

certamente purosangue, però quello che volevo chiedervi era se questa soluzione andasse bene

$lim_(y->+oo) ((y)/(e^y))^-1$.
$(lim_(y->+oo)(y)/(e^y))^-1$.
$(0)^-1$

[Nidhogg]

Secondo me è errata, in quanto $0^(-1)=+-oo$.

[cavallipurosangue]

y è sicuramente positiva, e^y a maggior ragione, quindi si ha $(0^+)^(-1)\to+\infty$

[Akillez]

ecco è proprio questo il fatto sul quale mi piaceva discutere sul fatto che comunque $(0)^-1=+oo$ come infatti è scritto nella tabella sui limiti.
Quindi volendo in modo un pò forzato potebbe essere corretto?

[cavallipurosangue]

In questo caso è corretto per i motivi sopre spiegati, ma non risulta più esser vero per esempio in questo caso:
$\lim_{x\to0}1/x=....$non esiste!
Infatti limite destro e sinistro sono diversi:
$\lim_{x\to0^{\pm}}1/x=\pm\infty$

[Akillez]

ah certo, grazie mille ragazzi!
Non avete idea di come sono contento.