Limite di successione

[oleg.fresi]

Ho questa successione: $lim_(n->+infty)(root(n)(n))$
Ho pensato di scriverla così: $ lim_(n->+infty)(e^(1/nln(n)))$ dopo questo passaggio: $n^1/n$.
Il fatto è che così non risolvo nulla, potreste aiutarmi per favore?

[axpgn]

Eppure questo $lim_(n->+infty) ln(n)/n$ dovrebbe dirti qualcosa ...

[oleg.fresi]

Non so, direi che assomiglia al limite notevole del logaritmo, ma n dovrebbe tendere a 0.

[axpgn]

Fai il grafico delle due funzioni ...

[oleg.fresi]

Intendi del logaritmo e della radice?

[axpgn]

È un classico esempio della gerarchia degli infiniti ovvero $f(n)=n$ va all'infinito "più velocemente" di $f(n)=ln(n)$; basta fare un grafico di queste due funzioni per vederlo … quindi il denominatore si "mangia" il numeratore ed il limite conseguentemente va a zero

[oleg.fresi]

Ah ok ho capito, grazie tante per l'aiuto!

[oleg.fresi]

Avrei un dubbio su queste due: $lim_(n->+infty)((-1)^n*n^3/(n^4+1))$ e $lim_(n->+infty)((-1)^n*n/(2n+1))$.
Quel che non capisco è che entrambe hanno questo fattore: $(-1)^n$, ma il primo limite fa $0$, mentre il secondo non esiste.
Perchè il primo converge? E' legato anche questo alla gerarchia degli infiniti?

[Obidream]

Cosa sei in grado di dire su $(-1)^n$ innanzitutto?

[oleg.fresi]

Che è una successione indetrminata perchè oscilla tra 1 e -1

[Obidream]

Perfetto, quindi prendendo il primo limite e raccogliendo al denominatore $n^4$:

$lim_(n->+infty) (-1)^n*n^3/(n^4+1)$

$lim_(n->+infty) (-1)^n*n^3/(n^4(1+1/n^4))$

$lim_(n->+infty)(-1)^n*1/(n(1+1/n^4))$

Perché questo limite fa $0$?

[oleg.fresi]

Presumo per lo stesso discorso fatto prima, ovvero la frazione tende a zero e fà tendere a zero anche $(-1)^n$

[StellaMartensitica]

E' un teorema che si dimostra con il teorema del confronto. Lo "slogan" è infinitesima per limitata fa infinitesima.

[Obidream]

Quoto il buon Sir. Per il secondo limite, si può intuire la sua non esistenza perché il secondo fattore tende ad $1/2$, se non riesci a vederlo raccogli la $n$ al denominatore banalmente, mentre $(-1)^n$ vale $1$ o $-1$. Si può dimostrare formalmente considerando il teorema dell'unicità del limite ( se esiste il limite questo è unico) ed il teorema delle restrizioni.

[oleg.fresi]

Perfetto, grazie tanto per i consigli!