Limite di funzione trigonometrico.

[Akillez]

Ciao ragazzi, ho un limite con il quale non riesco neanche a partire:

$Lim_(z->0) (ln(cosz))/z^2$

come fareste voi per risolverlo?

[giuseppe87x]

Secondo me non esiste...la funzione coseno oscilla tra -1 e +1 a $+infty$

[Akillez]

cacchio scusa, il limite non era tendente a $+oo$ ma a 0

[giuseppe87x]

mmm...in questo momento non saprei come ricondurlo a un limite notevole. Comunque se hai fatto le derivate puoi sempre provare con l'Hopital.
Derivando numeratore e denominatore ottieni:

$lim_(x to 0)(-1/cosxsinx)/(2x)=-1/2$

[Akillez]

ah... noi non abbiamo ancora fatto le derivate cmq grazie per l'aiuto

[Akillez]

Uè la soluzione detta dal mio caro professore:

$Lim_(z->0) ln[(cosz-1)+1]/(cos(z-1)$ * $(cosz-1)/z^2$

sostituendo y=cosz-1

$Lim_(z->0) ln(y+1)/(y)$ * $(cosz-1)/z^2$ * $(cosz+1)/(cosz+1)$

$Lim_(z->0) ln(y+1)/(y)$ * $(cosz^2-1)/z^2$ * $1/(cosz+1)$

$Lim_(z->0) ln(y+1)/(y)$ * $Lim_(z->0) (sinz/z)^2$ * $Lim_(z->0) 1/(cosz+1)$

$=-1/2$

ecco fatto in alcuni punti non ho sostituito y=con cosz-1 per far vedere meglio i passaggi.

Cmq sono rimasto a bocca aperta dalla potenza delle derivate non vedo l'ora di farlo.

Intanto speriamo di passare Mercoledì!!!

[giuseppe87x]

"Achillez":Uè la soluzione era così:

$Lim_(z->0) ln[(cosz-1)+1]/(cos(z-1)$ * $(cosz-1)/z^2$

sostituendo y=cosz-1

$Lim_(z->0) ln(y+1)/(y)$ * $(cosz-1)/z^2$ * $(cosz+1)/(cosz+1)$

$Lim_(z->0) ln(y+1)/(y)$ * $(cosz^2-1)/z^2$ * $1/(cosz+1)$

$Lim_(z->0) ln(y+1)/(y)$ * $Lim_(z->0) (sinz/z)^2$ * $Lim_(z->0) 1/(cosz+1)$

$=-1/2$

Interessante...con la fretta non ci avevo pensato.

"Achillez":Intanto speriamo di passare Mercoledì!!!

Te lo auguro!