Limite di funzione...

[kioccolatino90]

salve a tutti ho un limite semplice ma sono arrivato ad un punto che non riesco ad andare avanti....


l'esercizio è: $lim_(x->oo)x^2[sqrt(x^2+1)- sqrt(x^2+3)]$ pocedo: $x^2[ (x^2+1-x^2+3)/(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+3))]= x^2( 4/(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+3)))=$ ??? ora come procedo? è una forma indeterminata ma conviene applicare ora il teorema De l'hopital? secondo me dovrei procedere con le operazioni... voi cosa dite?

[redlex91-votailprof]

Provo, ma non ti assicuro nulla.

$ lim_(x -> +oo ) [x^2*(sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2+3))] =lim_(x -> +oo ) [x^2*(x^2+1-x^2-3)/(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+3))]=lim_(x -> +oo ) [x^2*(-2)/(|x|(sqrt(1+1/x^2)+sqrt(1+3/x^2)))]$
$=lim_(x -> +oo ) [x^2*(-2)/(x(sqrt(1+1/x^2)+sqrt(1+3/x^2)))]$
$=lim_(x -> +oo )[x(-2)/((sqrt(1+1/x^2)+sqrt(1+3/x^2)))]=-oo$

Per $x->-oo$...

[kioccolatino90]

"friction":

. . . $lim_(x -> +oo ) [x^2*(-2)/(|x|(sqrt(1+1/x^2)+sqrt(1+3/x^2)))]$

perchè al denominatore hai calcolato per il valore assoluto di $x$?

[redlex91-votailprof]

$sqrt(x^2)=|x|$ ma visto che stiamo considerando $x$ per valori che si avvicinano a $+oo$ possiamo supporre $x$ positivo... però aspetta conferma da qualcuno che ne sa più di me

[kioccolatino90]

più di me di sicuro.....sembra giusta poi non saprei perchè non ho il risultato....
comunque grazie...

[kioccolatino90]

ma il valore assoluto di $x$ perchè è uguale a $sqrtx^2$, c'è una dimostrazione?

[redlex91-votailprof]

Siano $f$ e $g$ due funzioni così definite:
$f:RR\toRR^+, f(x)=x^2$
$g:RR^+\toRR^+,g(x)=sqrtx$
allora la composta di $f$ con $g$, detta $h: =gof:RR\to\RR^+$ è $gof(x)=g(f(x))=g(x^2)=sqrt(x^2)=x$ ma $h$ va da $RR$ in $RR^+$ quindi $x$ sarà sicuramente positivo, per cui $|x|$. Uhm... come al solito, in attesa di pareri più autorevoli.

[kioccolatino90]

quindi quando si porta $x^2$ fuori dalla radice viene sempre il valore assoluto della stessa persa di un grado?