Limite dell'integrale

[ermes*11]

Salve!
Per favore, potreste mostrarmi come si svolge il limite di questa funzione razionale in cui compare un integrale utilizzando il teorema di Torricelli - Barrow e quello di De L'Hopital?

lim ((int sen t^3 dt) / x^4)
x->o 2x 0

Con 2x 0 intendo dire che l'integrale è definito tra 2x e 0 (non sapevo come indicarlo). Scusate, ma non sono molto pratico della simbologia utilizzata in questo forum. Sarei molto grato a chiunque mi desse un aiuto di qualsiasi genere.
Vi ringrazio in anticipo,

Andrea

[_Tipper]

Il limite si presenta sotto la forma $\frac{0}{0}$, si può quindi usare il teorema di de l'Hopital, andando a derivare sia il numeratore che il denominatore. La derivata del denominatore è facile, e fa $4x^3$, per quella del numeratore ragiona così:
sia $F(t)$ una primitiva di $\sin(t^3)$, allora il numeratore, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, si può scrivere come $F(0) - F(2x)$, quindi la derivata del numeratore vale $D[F(0)] - D[F(2x)]$.
$F(0)$ è costante, e la sua derivata è nulla, invece $D[F(2x)]=\sin(8x^3)$, perché $F$ è una primitiva di $\sin(t^3)$, pertanto la derivata del numeratore è $-\sin(8x^3)$.
Per risolvere il limite ora puoi usare il celeberrimo limite notevole.

[ermes*11]

Ti ringrazio molto, ma c'è un punto su cui, se non ti dispiace, avrei bisogno di un chiarimento. Quando si fa la derivata del numeratore, e quindi dell'integrale, in 2x non si dovrebbe tenere conto che si tratta in qualche modo di una funzione composta (perché definita in 2x, e non semplicemente in x), e quindi moltiplicare per 2 il sen8x^3?

Per cui verrebbe:

lim (-2sen8x^3)/(4x^3)
x->o

O sto dicendo una cretinata?

Mille grazie ancora,
Andrea

[_Tipper]

Certo che devi tenerne conto, mi è rimasto un $2$ nella tastiera!

[ermes*11]

Sei gentilissimo, grazie ancora.