Limite del rapporto incrementale in x0

[aneres93]

devo studiare la derivabilità in R di questa funzione

[math]y=x^3-5x+4[/math]

quindi il limite del rapporto incrementale di x che tende a x con 0

ovvero

[math]\begin{matrix}
lim\\ x \mapsto x_{0}

\end{matrix}\frac{x^3-5x+4-(x_{0}^{3}-5x_{0}+4)}{x-x_{0}}[/math]

mi fate vedere i passaggi ..quindi come si svolge e come procedo..

[bimbozza]

scriviamo la derivata come

[math] lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/math]

[math]f(x_0+h)= (x_0+h)^3-5(x_0+h)+4=(x_0)^3+h^3+3(x_0)^2h+3x_0h^2-5x_0-5h+4[/math]

quindi

[math] lim_{h \to 0} \frac{(x_0)^3+h^3+3(x_0)^2h+3x_0h^2-5x_0-5h+4-(x_0)^3+5x_0-4}{h}[/math]

[math] lim_{h \to 0} \frac{(h^3+3(x_0)^2h+3x_0h^2-5h}{h}[/math]

[math] lim_{h \to 0} \frac{(h(h^2+3(x_0)^2+3x_0h-5)}{h}[/math]

[math] lim_{h \to 0} (h^2+3(x_0)^2+3x_0h-5)=3(x_0)^2-5[/math]